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1
Bueno, lo primera será pasar a fracciones parciales, entonces tenemos que,
![\displaystyle\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)} \displaystyle\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bs%2B3%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D)
tenemos en el denominador, tres factores lineales, sin repetición, entonces,
![\displaystyle\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{s+1}=...\\\\...=\frac{A(s-2)(s+1)+B(s)(s+1)+C(s)(s-2)}{s(s-2)(s+1)}=...\\\\...=\frac{As^{2}-As-2A+Bs^{2}+Bs+Cs^{2}-2Cs}{s(s-2)(s+1)}=...\\\\...=\frac{(A+B+C)s^{2}+(-A+B-2C)s+(-2A)}{s(s-2)(s+1)} \displaystyle\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{s+1}=...\\\\...=\frac{A(s-2)(s+1)+B(s)(s+1)+C(s)(s-2)}{s(s-2)(s+1)}=...\\\\...=\frac{As^{2}-As-2A+Bs^{2}+Bs+Cs^{2}-2Cs}{s(s-2)(s+1)}=...\\\\...=\frac{(A+B+C)s^{2}+(-A+B-2C)s+(-2A)}{s(s-2)(s+1)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bs%2B3%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D%3D%5Cfrac%7BA%7D%7Bs%7D%2B%5Cfrac%7BB%7D%7Bs-2%7D%2B%5Cfrac%7BC%7D%7Bs%2B1%7D%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D%5Cfrac%7BA%28s-2%29%28s%2B1%29%2BB%28s%29%28s%2B1%29%2BC%28s%29%28s-2%29%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D%5Cfrac%7BAs%5E%7B2%7D-As-2A%2BBs%5E%7B2%7D%2BBs%2BCs%5E%7B2%7D-2Cs%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D%5Cfrac%7B%28A%2BB%2BC%29s%5E%7B2%7D%2B%28-A%2BB-2C%29s%2B%28-2A%29%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D)
en síntesis, nos queda,
![\displaystyle\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)}=\frac{(A+B+C)s^{2}+(-A+B-2C)s+(-2A)}{s(s-2)(s+1)}\\\\(0)s^{2}+(1)s+(3)=(A+B+C)s^{2}+(-A+B-2C)s+(-2A) \displaystyle\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)}=\frac{(A+B+C)s^{2}+(-A+B-2C)s+(-2A)}{s(s-2)(s+1)}\\\\(0)s^{2}+(1)s+(3)=(A+B+C)s^{2}+(-A+B-2C)s+(-2A)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bs%2B3%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D%3D%5Cfrac%7B%28A%2BB%2BC%29s%5E%7B2%7D%2B%28-A%2BB-2C%29s%2B%28-2A%29%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D%5C%5C%5C%5C%280%29s%5E%7B2%7D%2B%281%29s%2B%283%29%3D%28A%2BB%2BC%29s%5E%7B2%7D%2B%28-A%2BB-2C%29s%2B%28-2A%29)
y queda claro que, para que ax^{2}+bx+c=5x^{2}+3x+1,necesairamente a=5, b=3, y c=1, entonces hacemos los mismo, debemos igualar los coeficientes según cada variable,
![\displaystyle \left\{\begin{array}{l}A+B+C=0\\-A+B-2C=1\\-2A=3\end{array}\right. = \left\{\begin{array}{l}A+B+C=0\\-A+B-2C=1\\A=-\frac{3}{2}\end{array}\right. = \\\\\\\left\{\begin{array}{l}B+C=\frac{3}{2}\\B-2C=-\frac{1}{2}\end{array}\right. =\left\{\begin{array}{l}2B+2C=3\\B-2C=-\frac{1}{2}\end{array}\right. =3B=\frac{5}{2}\rightarrowB=\frac{5}{6}=B \displaystyle \left\{\begin{array}{l}A+B+C=0\\-A+B-2C=1\\-2A=3\end{array}\right. = \left\{\begin{array}{l}A+B+C=0\\-A+B-2C=1\\A=-\frac{3}{2}\end{array}\right. = \\\\\\\left\{\begin{array}{l}B+C=\frac{3}{2}\\B-2C=-\frac{1}{2}\end{array}\right. =\left\{\begin{array}{l}2B+2C=3\\B-2C=-\frac{1}{2}\end{array}\right. =3B=\frac{5}{2}\rightarrowB=\frac{5}{6}=B](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7DA%2BB%2BC%3D0%5C%5C-A%2BB-2C%3D1%5C%5C-2A%3D3%5Cend%7Barray%7D%5Cright.+%3D+%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7DA%2BB%2BC%3D0%5C%5C-A%2BB-2C%3D1%5C%5CA%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.+%3D+%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7DB%2BC%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5C%5CB-2C%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.+%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D2B%2B2C%3D3%5C%5CB-2C%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.+%3D3B%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5CrightarrowB%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%3DB)
como ya tenemos el valor de A y ahora el de B, es fácil deducir el valor de C, entonces obtenemos que, A=-3/2, B=5/6 y C=5/6
con ésto ya podemos armar las fracciones parciales, entonces
![\displaystyle\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)}=\frac{-\frac{3}{2}}{s}+\frac{\frac{5}{6}}{s-2}+\frac{\frac{2}{3}}{s+1}=-\frac{3}{2s}+\frac{5}{6(s-2)}+\frac{2}{3(s+1)} \displaystyle\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)}=\frac{-\frac{3}{2}}{s}+\frac{\frac{5}{6}}{s-2}+\frac{\frac{2}{3}}{s+1}=-\frac{3}{2s}+\frac{5}{6(s-2)}+\frac{2}{3(s+1)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bs%2B3%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D%3D%5Cfrac%7B-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7Bs%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%7D%7Bs-2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%7Bs%2B1%7D%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2s%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%28s-2%29%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%28s%2B1%29%7D)
finalmente hallemos la transformada inversa, sería,
![\displaystyle\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)}\right\} =\mathscr{L^{-1}}\left\{-\frac{3}{2s}+\frac{5}{6(s-2)}+\frac{2}{3(s+1)}\right\}=...\\\\...=\mathscr{L^{-1}}\left\{-\frac{3}{2s}\right\}+\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{5}{6(s-2)}}\right\}+\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{2}{3(s+1)}\right\}=...\\\\...=-\frac{3}{2}\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{1}{s}\right\}+\frac{5}{6}\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{1}{s-2}}\right\}+\frac{2}{3}\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{1}{s-(-1)}\right\} \displaystyle\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)}\right\} =\mathscr{L^{-1}}\left\{-\frac{3}{2s}+\frac{5}{6(s-2)}+\frac{2}{3(s+1)}\right\}=...\\\\...=\mathscr{L^{-1}}\left\{-\frac{3}{2s}\right\}+\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{5}{6(s-2)}}\right\}+\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{2}{3(s+1)}\right\}=...\\\\...=-\frac{3}{2}\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{1}{s}\right\}+\frac{5}{6}\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{1}{s-2}}\right\}+\frac{2}{3}\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{1}{s-(-1)}\right\}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cmathscr%7BL%7D%5E%7B-1%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bs%2B3%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D%5Cright%5C%7D+%3D%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B-%5Cfrac%7B3%7D%7B2s%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%28s-2%29%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%28s%2B1%29%7D%5Cright%5C%7D%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B-%5Cfrac%7B3%7D%7B2s%7D%5Cright%5C%7D%2B%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%28s-2%29%7D%7D%5Cright%5C%7D%2B%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%28s%2B1%29%7D%5Cright%5C%7D%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%5Cright%5C%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs-2%7D%7D%5Cright%5C%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs-%28-1%29%7D%5Cright%5C%7D+)
nota que podemos hacer todo ésto, por la linealidad...bien, ahora ésto si te acosejo que busques una tabla de inversas...o caso contrario vas a tener un serio problema tratando de demostrar ésto...entonces, el primero es la transformada inversa de la 1, la segunda y tercera es la transforma de la exponencial, recordemos,
![\displaystyle\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{1}{s-a}\right\} =e^{at} \displaystyle\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{1}{s-a}\right\} =e^{at}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs-a%7D%5Cright%5C%7D+%3De%5E%7Bat%7D)
entonces fácilmente obtenemos que,
![\displaystyle\mathscr{L^{-1}}\left\{f(s)\right\} =-\frac{3}{2}(1)+\frac{5}{6}(e^{2t})+\frac{2}{3}(e^{-t}) \displaystyle\mathscr{L^{-1}}\left\{f(s)\right\} =-\frac{3}{2}(1)+\frac{5}{6}(e^{2t})+\frac{2}{3}(e^{-t})](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7Bf%28s%29%5Cright%5C%7D+%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%281%29%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%28e%5E%7B2t%7D%29%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%28e%5E%7B-t%7D%29)
y con eso sería todo¡...puedes desarrollar un poco más eso...pero hasta ahí me parece adecuado
tenemos en el denominador, tres factores lineales, sin repetición, entonces,
en síntesis, nos queda,
y queda claro que, para que ax^{2}+bx+c=5x^{2}+3x+1,necesairamente a=5, b=3, y c=1, entonces hacemos los mismo, debemos igualar los coeficientes según cada variable,
como ya tenemos el valor de A y ahora el de B, es fácil deducir el valor de C, entonces obtenemos que, A=-3/2, B=5/6 y C=5/6
con ésto ya podemos armar las fracciones parciales, entonces
finalmente hallemos la transformada inversa, sería,
nota que podemos hacer todo ésto, por la linealidad...bien, ahora ésto si te acosejo que busques una tabla de inversas...o caso contrario vas a tener un serio problema tratando de demostrar ésto...entonces, el primero es la transformada inversa de la 1, la segunda y tercera es la transforma de la exponencial, recordemos,
entonces fácilmente obtenemos que,
y con eso sería todo¡...puedes desarrollar un poco más eso...pero hasta ahí me parece adecuado
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