Question

Encuentre la transformada inversa por fracciones parciales.

Answer 1

Bueno, lo primera será pasar a fracciones parciales, entonces tenemos que,

 $\displaystyle\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)}$

tenemos en el denominador, tres factores lineales, sin repetición, entonces,

$\displaystyle\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{s+1}=...\\\\...=\frac{A(s-2)(s+1)+B(s)(s+1)+C(s)(s-2)}{s(s-2)(s+1)}=...\\\\...=\frac{As^{2}-As-2A+Bs^{2}+Bs+Cs^{2}-2Cs}{s(s-2)(s+1)}=...\\\\...=\frac{(A+B+C)s^{2}+(-A+B-2C)s+(-2A)}{s(s-2)(s+1)}$

en síntesis, nos queda,

$\displaystyle\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)}=\frac{(A+B+C)s^{2}+(-A+B-2C)s+(-2A)}{s(s-2)(s+1)}\\\\(0)s^{2}+(1)s+(3)=(A+B+C)s^{2}+(-A+B-2C)s+(-2A)$

y queda claro que, para que ax^{2}+bx+c=5x^{2}+3x+1,necesairamente a=5, b=3, y c=1, entonces hacemos los mismo, debemos igualar los coeficientes según cada variable,

 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}A+B+C=0\\-A+B-2C=1\\-2A=3\end{array}\right. = \left\{\begin{array}{l}A+B+C=0\\-A+B-2C=1\\A=-\frac{3}{2}\end{array}\right. = \\\\\\\left\{\begin{array}{l}B+C=\frac{3}{2}\\B-2C=-\frac{1}{2}\end{array}\right. =\left\{\begin{array}{l}2B+2C=3\\B-2C=-\frac{1}{2}\end{array}\right. =3B=\frac{5}{2}\rightarrowB=\frac{5}{6}=B$

como ya tenemos el valor de A y ahora el de B, es fácil deducir el valor de C, entonces obtenemos que,  A=-3/2, B=5/6 y C=5/6

con ésto ya podemos armar las fracciones parciales, entonces

$\displaystyle\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)}=\frac{-\frac{3}{2}}{s}+\frac{\frac{5}{6}}{s-2}+\frac{\frac{2}{3}}{s+1}=-\frac{3}{2s}+\frac{5}{6(s-2)}+\frac{2}{3(s+1)}$

finalmente hallemos la transformada inversa, sería,

$\displaystyle\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s+3}{s(s-2)(s+1)}\right\} =\mathscr{L^{-1}}\left\{-\frac{3}{2s}+\frac{5}{6(s-2)}+\frac{2}{3(s+1)}\right\}=...\\\\...=\mathscr{L^{-1}}\left\{-\frac{3}{2s}\right\}+\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{5}{6(s-2)}}\right\}+\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{2}{3(s+1)}\right\}=...\\\\...=-\frac{3}{2}\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{1}{s}\right\}+\frac{5}{6}\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{1}{s-2}}\right\}+\frac{2}{3}\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{1}{s-(-1)}\right\}$

nota que podemos hacer todo ésto, por la linealidad...bien, ahora ésto si te acosejo que busques una tabla de inversas...o caso contrario vas a tener un serio problema tratando de demostrar ésto...entonces, el primero es la transformada inversa de la 1, la segunda y tercera es la transforma de la exponencial, recordemos,

  $\displaystyle\mathscr{L^{-1}}\left\{\frac{1}{s-a}\right\} =e^{at}$

entonces fácilmente obtenemos que,

$\displaystyle\mathscr{L^{-1}}\left\{f(s)\right\} =-\frac{3}{2}(1)+\frac{5}{6}(e^{2t})+\frac{2}{3}(e^{-t})$

y con eso sería todo¡...puedes desarrollar un poco más eso...pero hasta ahí me parece adecuado