Question

Encontrar el centro y el radio de las siguientes CIRCUNFERENCIA
3x²+3y²-18x-12y+12=0

Answer 1

Bien, tienes la ecuación de la circuneferencia de la forma general, es decir,

$x^{2}+y^{2}+Cx+Dy+E=0$

entonces tenemos,

$3x^{2}+3y^{2}-18x-12y+12=0$

lo primera será dividir toda para 3, entonces

$x^{2}+y^{2}-6x-4y+4=0$

debemos llevarla a su forma canónica, es decir de la forma

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\\x^{2}-2xh+h^{2}+y^{2}-2yk+k^{2}=r^{2}\\x^{2}+y^{2}-2hx-2ky-(k^{2}-r^{2})=0\\x^{2}+y^{2}+Cx+Dy+E=0$

es más mira que en base a la fórmua general ya podríamos obtener el centro, por en nuestro caso,

$C=-2hx=-6x\\h=3\\\\D=-2ky=-4y\\k=2$

entonces el centro debería ser (3,2) ,

y eso sería todo, ahora si no pudiste ver de donde, me inventé todo ésto no hay problema...el segundo camino es completando el cuadrado, para eso lo agrupamos,


$x^{2}+y^{2}-6x-4y+4=0\\(x^{2}-6x)+(y^{2}-4y)=-4\\ \left(x-3\right)^{2}-9+(y-2)^{2}-4=-4\\(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=9$

y el radio será de 3

completar el cuadrado no es más que, mmm...completar pel polinomio para obtener un caso de factorización que es el trinomio cuadrado perfecto, y lo que hacemos es agregar un número inteligente, en éste caso es el cero...5-5=0 6-6=0 80-80 =0, pero podemos escojer la estructua de ese cero, a nuestra conveniencia...por ejemplo para el primero, tenemos

 $x^{2}-6x+k^{2}=(x-k)^{2}=x^{2}-2xk+k^{2}\\-6x=-2xk\\k=3\\\\x^{2}-6x+3^{2}-3^{2}=(x^{2}-6x+9)-9=(x-3)^{2}-9$

de similar fomra se hizo con el otro...y eso sería todo