como puedo encontrar la recta tangente y normal si y=3^x y x=2
seeker17:
haber...la función es y=3^x??...y quieres una recta tangente en el punto x=2?? así?
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Respuesta dada por:
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Bueno, como recordarás, la derivada de un curva en cualquier punto es la pendiente de la recta tangente en un punto dado...entonces derivemos,
![f(x)=3^{x}\\ f(x)=3^{x}\\](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D3%5E%7Bx%7D%5C%5C)
aplicamos la derivada, respectiva, sabemos que,
![f'(x)=\displaystyle\frac{dy}{dx}=m=3^{x}\ln(3) f'(x)=\displaystyle\frac{dy}{dx}=m=3^{x}\ln(3)](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Dm%3D3%5E%7Bx%7D%5Cln%283%29)
y nos pide la pendiente "m", en x=2, entonces
![m=3^{2}\ln(3)=9\ln(2) m=3^{2}\ln(3)=9\ln(2)](https://tex.z-dn.net/?f=m%3D3%5E%7B2%7D%5Cln%283%29%3D9%5Cln%282%29)
y esa sería la pendiente...
entonces, la ecuación de la recta dado un punto una pendient es,
![y-y_{1}=m(x-x_{1})\\y-f(2)=9\ln(2)(x-2)\\y-9=9\ln(2)x-18\ln(2)\\\\9\ln(2)x-y-18\ln(2)+9=0 y-y_{1}=m(x-x_{1})\\y-f(2)=9\ln(2)(x-2)\\y-9=9\ln(2)x-18\ln(2)\\\\9\ln(2)x-y-18\ln(2)+9=0](https://tex.z-dn.net/?f=y-y_%7B1%7D%3Dm%28x-x_%7B1%7D%29%5C%5Cy-f%282%29%3D9%5Cln%282%29%28x-2%29%5C%5Cy-9%3D9%5Cln%282%29x-18%5Cln%282%29%5C%5C%5C%5C9%5Cln%282%29x-y-18%5Cln%282%29%2B9%3D0)
está horrible...pero bueno...ahora si quieres una recta normal a ésta...es decir buscamos una recta perpendicular, entonces,
sabemos que si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes tiene que ser -1, entonces
![m_{1}m_{2}=-1\\m_{2}=-9\ln(2) m_{1}m_{2}=-1\\m_{2}=-9\ln(2)](https://tex.z-dn.net/?f=m_%7B1%7Dm_%7B2%7D%3D-1%5C%5Cm_%7B2%7D%3D-9%5Cln%282%29)
ya tenemos la nueva pendiente, ahora armamos la ecuacón de la recta, dado un punto y su pendiente,
![y-y_{1}=m(x-x_{1})\\y-f(2)=-9\ln(2)(x-2)\\y-9=-9\ln(2)x+18\ln(2)\\\\9\ln(2)x+y-18\ln(2)-9=0 y-y_{1}=m(x-x_{1})\\y-f(2)=-9\ln(2)(x-2)\\y-9=-9\ln(2)x+18\ln(2)\\\\9\ln(2)x+y-18\ln(2)-9=0](https://tex.z-dn.net/?f=y-y_%7B1%7D%3Dm%28x-x_%7B1%7D%29%5C%5Cy-f%282%29%3D-9%5Cln%282%29%28x-2%29%5C%5Cy-9%3D-9%5Cln%282%29x%2B18%5Cln%282%29%5C%5C%5C%5C9%5Cln%282%29x%2By-18%5Cln%282%29-9%3D0)
igualmente de feo..pero bueno...y eso sería todo
aplicamos la derivada, respectiva, sabemos que,
y nos pide la pendiente "m", en x=2, entonces
y esa sería la pendiente...
entonces, la ecuación de la recta dado un punto una pendient es,
está horrible...pero bueno...ahora si quieres una recta normal a ésta...es decir buscamos una recta perpendicular, entonces,
sabemos que si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes tiene que ser -1, entonces
ya tenemos la nueva pendiente, ahora armamos la ecuacón de la recta, dado un punto y su pendiente,
igualmente de feo..pero bueno...y eso sería todo
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