Question

alguien que me ayudeeeeeee porfavooor!!!!!
urgentee, es para entregar en media hora

Answer 1

Bueno, para la primera, podemos valernos de las siguientes razones trigonométricas,

$\displaystyle\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}\hspace{6mm}\sec(x)=\frac{1}{cos(x)}$

entonces, partimos del lado izquierdo si gustas...e intentaremos llegar al otro lado, entonces,

$\displaystyle\csc^{2}(x)+\sec^{2}(x)=\left(\frac{1}{\sin(x)}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\cos(x)}\right)^{2}=\frac{1}{\sin^{2}(x)}+\frac{1}{\cos^{2}(x)}\\\\\\=\frac{\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)}{\sin^{2}(x)\cos^{2}(x)}$

el numerador es una identidad trignométrica muy importante y que te sugiero te la aprendas, porque en base a ella, podrás demostrar absolutamente todo¡...entonces la identidad nos dice,

$\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1$

entonces,

$....=\displaystyle\frac{1}{\sin^{2}(x)\cos^{2}(x)}=\left(\frac{1}{\sin(x)}\right)^{2}\left(\frac{1}{\cos(x)}\right)^{2}=\csc^{2}(x)\sec^{2}(x)_{\blacksquare}$

y eso se loq ue queríamos demostrar, ahora vamos con el siguiente, entonces vamos a intentar llegar al lado derecho, entonces,

$\displaystyle\frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin^{2}(x)-\cos^{2}(x)}$

para éste es mucho más fácil, lo que debemos hacer es multiplicar por un número inteligente,,,si multiplicamos cualquer cosa por 1, no pasa nada, entonces

$\displaystyle\frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin^{2}(x)-\cos^{2}(x)}\left(\frac{\frac{1}{\cos^{2}(\alpha)}}{\frac{1}{\cos^{2}(\alpha)}}\right)=\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{\frac{\sin^{2}(\alpha)-\cos^{2}(\alpha)}{\cos^{2}(\alpha)}}=\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{\frac{\sin^{2}(\alpha)}{\cos^{2}(\alpha)}+1}$

de aquí sabemos que,  $\displaystyle\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, entonces


$\displaystyle\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{\frac{\sin^{2}(\alpha)}{\cos^{2}(\alpha)}+1}=\frac{\tan(\alpha)}{\tan^{2}(\alpha)+1}_{\blacksquare}$

y eso es lo que queríamos demostrar...para el último,

$\displaystyle(\sec(x)-\tan(x))^{2}=\left(\frac{1}{\cos(x)}-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^{2}=\left(\frac{1-\sin(x)}{\cos(x)}\right)^{2}\\\\\\=\frac{(1-\sin(x))^{2}}{\cos^{2}(x)}=\frac{\frac{\cos^{4}(x)}{(1+\sin(x))^{2}}}{\cos^{2}(x)}=\frac{\cos^{4}(x)}{(1+\sin(x))^{2}}\frac{1}{\cos^{2}(x)}=\frac{\cos^{2}(x)}{(1+\sin(x))^{2}}\\\\\\=\frac{1-\sin^{2}(x)}{(1+\sin(x))^{2}}=\frac{(1+\sin(x))(1-\sin(x))}{(1+\sin(x))^{2}}=\frac{1-\sin(x)}{1+\sin(x)}_{\blacksquare}$

y eso sería todo¡...espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas...