Question

Calcular el menor número real M tal que se
cumpla: 6 + 6x – x^2≤ M , para todo x real.

Ayuda

Answer 1

6 + 6x - x^2 es una parbola, por tanto tiene un vértice.


Ese vértice representa un valor máximo o mínimo que puede tomar la función, dependiendo de si la parábola es abierta hacia abajo o hacia arriba.


La dirección hacia la que abre la parábola puedes determinarla por el signo que antecede el coeficiente del término cuadrático, es decir el coeficiente de x^2.


Cuando el signo del coeficiente de x^2 es negativo, la parábola abre hacia abajo y el vértice es un punto máximo.


Ese es el caso del polinomio 6 + 6x - x^2.


Al ser el vértice un punto máximo significa que la función no podrá tomar un valor superior a él, o dicho de otra forma, la función será menor o igual al valor que tiene en el vértice. Por tanto, el valor de la función en el vértice será el número real M que estamos buscando.


Hallemos pues el vértice de la parábola -x^2 + 6x + 6.


Para ello puedes usar distintas formas.


Yo voy a completar cuadrados:

- x^2 + 6x + 6 =  -[x^2 - 6x - 6] = - [ (x - 3)^2 - 9 - 6]  = - [(x-3)^2 - 15] =

= -(x-3)^2 + 15

De donde, el vértice es (3, 15), lo que quire decir que el valor de la función 6 + 6x - x^2 es menor o igual a 15.


Por tanto, M = 15.


Respuesta: M = 15