Question

8. Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que cumple con las condiciones dadas
a) Que contenga a los puntos (4, 3,-2) y (3,-1, 2).
b) Que contenga a los puntos (2, 4,-3) y (6,-2, 1).

9. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:
a) π1 = 4x −2y + 9z = 10
b) π2 = 5x − y -7z = 2

Answer 1

Bueno, lo primero que debes saber es que, la ecuación paramétrica viene dado por,

$\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x=x_{1}+at\\y=y_{1}+bt\\z=z_{1}+ct\end{array}\right.$

y si quieres obtener las ecuaciones simétricas, lo único que haces es despejar el parámetro "t" de cada una de las ecuaciones paramétricas e igularlas, entonces te queda,

$\displaystyle\frac{x-x_{1}}{a}=\frac{y-y_{1}}{b}=\frac{z-z_{1}}{c}$

de éstas dos ecuaciones, cabe notar que, $(x_{1},y_{1},z_{1})=P$ es un punto, y  $(a,b,c)$ corresponden a los coeficientes del vector director...

Entonces, para armar la ecuacion paramétrica, necesitamos un punto y un vector director...es decir un punto y hacia donde quiero que esté la recta...éste vector director...lo puedes obtener del VECTOR PQ o QP como tu quieras...lo simpático del vector es que no nos interesa su módulo sino su dirección. Entonces, Supongamos que,

$P=(4,3,-2)\\Q=(3,-1,2)$

entonces, armemos un vector auxiliar...como te dije puedes hacer PQ o QP como quieras...yo haré PQ, espero te acuerdes como se definie un vector dado dos puntos??¡¡..¿verdad?..haber...se definie como punto final menos inicial en cada coordenada...entonces si quiero PQ, considero que los puntos de Q son finales y los puntos de P son iniciales, entonces,

$\displaystyle\overrightarrow{PQ}=(3-(4))\textbf{i}+(-1-(3))\textbf{j}+(2-(-2))\textbf{k}\\\overrightarrow{PQ}=-1\textbf{i}-4\textbf{j}+4\textbf{k}$

ya tenemos nuestro vector, podemos "abusar" de él jaja...y obtener únicamente su dirección que viene dado por los coeficientes de i,j,k, entonces,

 $a=-1,b=-4,c=4$

ya tenemos un punto, ya tenemos el vector director, por lo tanto ya tenemos las ecuaciones paramétricas, entonces,

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=4-t\\y=3-4t\\z=-2+4t\end{array}\right.$

y se acabó¡...ahora si quieres las simétricas, solo hay que igualar, entonces,

$\displaystyle\frac{x-4}{-1}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z+2}{4}$

y eso sería todo¡, ahora el siguiente ejercicio quiero que lo hagas tu, es exactamente el mismo procedimiento.

Para el siguiente ejercicio, debes recordar que un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones ¿cuando?, cuando hay más incógnitas que ecuaciones. entonces, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones,

 $\displaystyle \left \{ {{\pi_{1}:4x-2y+9z = 10} \atop {\pi_{2}:5x-y-7z = 2}} \right.$

y debemos reslverlo, puedes usar método de Gauus-Jordan si gustas...o por eliminación, la idea es que eliminas una variable, podemos eliminar equis, entonces hagamos lo siguiente,

$\displaystyle \left \{ {{\pi_{1}:5(4x-2y+9z = 10)} \atop {\pi_{2}:-4(5x-y-7z = 2)}} \right. =\displaystyle \left \{ {{\pi_{1}:20x-10y+45z = 50} \atop {\pi_{2}:-20x+4y+28z = -8}} \right.$

solo he multiplicado a cada plano por una constante y no pasa nada...ahora sí podemos jugar con las ecuaciones, podemos hacer la primera mas la segunda, entonces,

$\pi_{1}+\pi_{2}:-6y+73z=42\\\\y=\displaystyle\frac{73z-42}{6}$

entonces, con ésto podemos reemplazar en la primera ecuacion (pi_{1}), entonces,

$\displaystyle 20x-10\left(\frac{73z-42}{6}\right)+45z = 50\\120x-730z+420+270z=300 \\ 120x=-120+460z \\ 12x=-12+46z \\ x=\frac{23z-6}{6}$

y finalmente podemos poner un parámetro, por ejemplo, $z=\lambda$, entonces

 $\pi_{1}\cap\pi_{2}: \displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{23\lambda-6}{6}\\y=\frac{73\lambda-42}{6}\\z=\lambda\end{array}\right.$

y ya tienes la ecuación de la recta resultado de la intersección de los planos¡...como ejercicio adicional, te atreves a deducir el punto, y el vector director?? de ésta recta?...:D

Cualquier duda me avisas