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Respuesta dada por:
2
Para resolverlo uno de los métodos es el "el criterio de la razón"
![L=\lim_{n \to \infty} | \frac{ \frac{ \sqrt{n+1} (2x+1)^{3(n+1)}}{ (n+1)^{2}-2 } }{ \frac{\sqrt{n} (2x+1)^{3n}}{ n^{2} -2} } | L=\lim_{n \to \infty} | \frac{ \frac{ \sqrt{n+1} (2x+1)^{3(n+1)}}{ (n+1)^{2}-2 } }{ \frac{\sqrt{n} (2x+1)^{3n}}{ n^{2} -2} } |](https://tex.z-dn.net/?f=+L%3D%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+%7C+%5Cfrac%7B+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7Bn%2B1%7D+%282x%2B1%29%5E%7B3%28n%2B1%29%7D%7D%7B+%28n%2B1%29%5E%7B2%7D-2+%7D+%7D%7B+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bn%7D+%282x%2B1%29%5E%7B3n%7D%7D%7B+n%5E%7B2%7D+-2%7D+%7D+%7C+)
![L=\lim_{n \to \infty} | \frac{ \frac{ \sqrt{n+1} (2x+1)^{3n}(2x+1)}{ (n+1)^{2}-2 } }{ \frac{\sqrt{n} (2x+1)^{3n}}{ n^{2} -2} }| L=\lim_{n \to \infty} | \frac{ \frac{ \sqrt{n+1} (2x+1)^{3n}(2x+1)}{ (n+1)^{2}-2 } }{ \frac{\sqrt{n} (2x+1)^{3n}}{ n^{2} -2} }|](https://tex.z-dn.net/?f=L%3D%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+%7C+%5Cfrac%7B+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7Bn%2B1%7D+%282x%2B1%29%5E%7B3n%7D%282x%2B1%29%7D%7B+%28n%2B1%29%5E%7B2%7D-2+%7D+%7D%7B+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bn%7D+%282x%2B1%29%5E%7B3n%7D%7D%7B+n%5E%7B2%7D+-2%7D+%7D%7C+)
Simplificamos terminos:
![[tex]L=\lim_{n \to \infty} | \frac{ \frac{ \sqrt{n+1} (2x+1)}{ (n+1)^{2}-2 } }{ \frac{\sqrt{n} }{ n^{2} -2} }| \\ \\ L=(2x+1) \lim_{n \to \infty} |\frac{ \sqrt{n+1} ( n^{2} -2)}{\sqrt{n}(n^{2}-2n-1) }| \\ \\ L=(2x+1)(0) [tex]L=\lim_{n \to \infty} | \frac{ \frac{ \sqrt{n+1} (2x+1)}{ (n+1)^{2}-2 } }{ \frac{\sqrt{n} }{ n^{2} -2} }| \\ \\ L=(2x+1) \lim_{n \to \infty} |\frac{ \sqrt{n+1} ( n^{2} -2)}{\sqrt{n}(n^{2}-2n-1) }| \\ \\ L=(2x+1)(0)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Btex%5DL%3D%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+%7C+%5Cfrac%7B+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7Bn%2B1%7D+%282x%2B1%29%7D%7B+%28n%2B1%29%5E%7B2%7D-2+%7D+%7D%7B+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bn%7D+%7D%7B+n%5E%7B2%7D+-2%7D+%7D%7C+%5C%5C+%5C%5C+L%3D%282x%2B1%29+%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+%7C%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7Bn%2B1%7D+%28+n%5E%7B2%7D+-2%29%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%28n%5E%7B2%7D-2n-1%29+%7D%7C+%5C%5C+%5C%5C+L%3D%282x%2B1%29%280%29)
Por lo tanto el Intervalo de convergencia es
.
Simplificamos terminos:
Por lo tanto el Intervalo de convergencia es
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