Question

Hace seis años, una casa fue comprada en $179,000. Este año fue valorada en $215,000. Suponga que el valor V de la casa despues de su compra es una funcion lineal del tiempo t (en años). Exprese V en terminos de t. >Cuantos años despues de la fecha de compra la casa valia $193,000?

Answer 1

Una función lineal puede equipararse a una progresión aritmética (PA) donde cada término se calcula a partir de sumar una cantidad fija (llamada diferencia "d") al término anterior.

Así pues, si la casa fue ganando valor linealmente cada año hemos de suponer que cada año que pasó aumentó su valor en esa cantidad fija que no sabemos pero que puede obtenerse a partir de la fórmula del término general para las PA la cual dice:  $a_n=a_1+(n-1)*d$

Aplicándolo a nuestro caso concreto se pueden identificar los siguientes datos:

Primer término de la PA  será el valor inicial de la casa:
a₁ = 179.000

Último término de la PA  será el sexto término por ser el valor que alcanzó a los 6 años:
$a_n=a_6=215.000$

El número de términos de la PA (n) es justamente el nº de años, es decir el tiempo "t" pero yo lo representaré como "n" para seguir usando lo que se usa en progresiones:
n = 6

Y la diferencia "d" de la PA es lo que se revaloriza la casa cada año, y es lo que en principio debemos calcular para después calcular lo que nos pide. Por tanto, sustituyendo en esa fórmula esos datos y despejando "d" tendremos esto:

$215000=179000+(6-1)*d \\ \\ 215000-179000=5d \\ \\ d= \frac{36000}{5} =7.200$

Con esto sabemos que la casa se revaloriza 7.200 cada año.
Nos pide ahora cuántos años pasan para que la casa valga 193.000

Ahora, el término  $a_n$  es precisamente esa cantidad: 193.000 ya que desconocemos el lugar que ocupa en la PA,  es decir, no sabemos en qué año alcanzó ese valor.

Por tanto, ahora nuestra incógnita es precisamente "n", es decir, el nº de términos que tendrá la progresión para que se cumpla que  $a_n=193000$

Acudiendo de nuevo a la misma fórmula vuelvo a identificar datos.
$193000 = 179000+(n-1)*7200 \\ \\ 14000=7200n-7200 \\ \\ 21200=7200n \\ \\ n= \frac{21200}{7200} =2,94$

Si esto lo traduzco a las letras del ejercicio, expresar V en términos de "t" es sustituir  $a_n$  por V, y sustituir "t" por "n" en la fórmula de arriba.

Repito la fórmula originarl:  $a_n=a_1+(n-1)*d$
Ahora sustituyo...
$V=179000+(t-1)*7200 \ \ \ \ reduciendo... \\ \\ V=179000+7200t-7200 \\ \\ V=171800+7200t$

Esa es la respuesta a la primera cuestión.

Y la respuesta a la segunda pregunta ya la he resuelto arriba aunque no me da un número exacto: 2,94 años pasarían para que la casa alcanzara el valor de 193.000.

Esto podría reducirse pasándolo a meses y días tomando la parte decimal de los años (0,94) y multiplicándola por 12 meses que tiene un año:
0,94 × 12 = 11,33 meses.

Igualmente cojo la parte decimal de los meses (0,33) y la multiplico por 30 días que tiene un mes.

0,33 × 30 = 9,99 ≈ 10 días (aproximando por exceso.

Por tanto el período de tiempo que pasaría serían:
2 años, 11 meses y 10 días

Saludos.

Answer 2

Los años después de la fecha de compra la casa, valía $193,000 son:

2,333 años

¿Qué es un modelo lineal?

Un modelo lineal es la representación de los datos de un problema en función de una recta.

La recta es la representación lineal perfecta. Se construye con dos punto por los que pase dicha recta o si es conocida su pendiente y un punto.

y - y₀ = m(x - x₀)   ó  y = mx + b

Siendo;

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

¿Cuántos años después de la fecha de compra la casa valía $193,000?

Siendo;

• (0; 179,000)
• (6; 215,000)

Sustituir en la pendiente;

$m=\frac{215000-179000}{6-0}$

m = 6,000

Sustituir en la ecuación;

y - 179,000 = 6,000(x - 0)

y = 6,000x + 179,000

Siendo;

• y = V
• x = t

Sustituir;

V = 6,000t + 179,000

Evaluar V = $193,000;

193,000 = 6,000t + 179,000

Despajar t;

6,000t = 193,000 -179,000

t = 14,000/6,000

t = 2,333 años

Puedes ver más sobre ecuación de una recta aquí: https://brainly.lat/tarea/11236247