1. a) Enuncie las leyes de Kepler.
b) Dos satélites de igual masa, m, describen órbitas circulares alrededor de un planeta de masa
M. Si el radio de una de las órbitas es el doble que el de la otra, razone la relación que existe
entre los periodos de los dos satélites ¿Y entre sus velocidades?
Prueba de Selectividad, Andalucia, Septiembre 2015-2016 (Suplementario) FISICA
Respuestas
a) Enuncie las leyes de Kepler.
Las leyes de Kepler son un conjunto de enunciados que explican el movimiento de los planetas y sus órbitas. Estas leyes son un total de tres y se pueden enunciar como:
- Primera ley de Kepler: Todos los planetas tienen una órbita elíptica con respecto al sol, además este sol se encuentra en uno de los focos de la elipse.
- Segunda ley de Kepler: El vector que une al planeta y al sol recorre áreas iguales en tiempos similares. Esto se observa con la ecuación del momento lineal.
L = m*r1*v1 = m*r2*v2
- Tercera ley de Kepler: En cualquier planeta, su periodo orbital al cuadrado es proporcional al cubo del semieje mayor de la trayectoria. La ecuación del periodo orbital es:
T^2 = C*r^3
Dónde:
T es el periodo orbital.
r es la distancia del semieje mayor.
C es la constante de proporcionalidad.
b) Dos satélites de igual masa, m, describen órbitas circulares alrededor de un planeta de masa M. Si el radio de una de las órbitas es el doble que el de la otra, razone la relación que existe entre los periodos de los dos satélites.
La ecuación del periodo para resolver este problema es:
T^2 = C*r^3
Dónde:
T es el periodo orbital.
r es la distancia del semieje mayor.
C es la constante de proporcionalidad.
Ahora aplicando la ley de gravitación universal de Newton se puede encontrar que C es:
C = 4π^2/G*M
Dónde:
G es la constante de gravitación universal.
M es la masa del planeta.
Finalmente sustituyendo el valor de C en la ecuación de Kepler se tiene que:
T^2 = (4π^2/G*M)*r^3
Ahora se escribe la ecuación para cada satélite:
Para el satélite 1:
T1^2 = (4π^2/G*M)*r1^3
Para el satélite 2:
T2^2 = (4π^2/G*M)*r2^3
Del enunciado se puede encontrar que:
r1 = 2*r2
Sustituyendo este valor en las ecuaciones se tiene que:
T1^2 = (4π^2/G*M)*(2*r2)^3
Despejando r2^3 de la ecuación:
r2^3 = (G*M/32π^2)*T1^2
Sustituyendo el r2 despejado en la otra ecuación:
T2^2 = (4π^2/G*M)* (G*M/32π^2)*T1^2
T1^2 = 8*T2^2
T1 = √(8) * T2
La relación que existe entre los periodos orbitales es de √8 veces mayor el periodo del satélite más alejado que el del más cercano.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE (SUPLEMENTARIO) 2015-2016 FÍSICA.