Question

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Answer 1

En cuanto a las dos rectas en $R^2$ planteadas, solo la afirmación 2 es correcta, son paralelas para k=-3/2.

Explicación paso a paso:

Para determinar si el punto P es un punto de intersección entre las dos rectas para algún valor de k, empezamos despejando una de las variables en cada una de las ecuaciones:

$x=\frac{2+ky}{3}\\\\x=\frac{4k-y}{2}$

Y las igualamos, reemplazando a la x por la abscisa del punto P:

$\frac{2+ky}{3}=\frac{4k-y}{2}\\\\\frac{2+k\frac{16}{10}}{3}=\frac{4k-\frac{16}{10}}{2}\\\\2(2+k\frac{16}{10})=3(4k-\frac{16}{10})\\\\4+\frac{16}{5}k=12k-\frac{24}{5}\\\\4+\frac{24}{5}=12k-\frac{16}{5}k\\\\\frac{44}{5}=\frac{44}{5}k\\\\k=1$

Si en una de las ecuaciones hacemos k=1 e y=16/10, por ejemplo en la segunda, podemos hallar la abscisa del punto de intersección:

$2x+y=4\\\\2\frac{16}{10}+y=4\\\\y=4-\frac{16}{5}=\frac{4}{5}=\frac{8}{10}$

Con lo que el único punto de intersección con ordenada 16/10 posible es (8/10,16/10) y no (12/10,16/10). La proposición es incorrecta,

Las rectas serán paralelas si los dos coeficientes de las variables son iguales, haciendo $k=-\frac{3}{2}$ queda:

$3x-(-\frac{3}{2})y=2\\\\2x+y=4(-\frac{3}{2})\\\\3x+\frac{3}{2}y=2\\\\2x+y=-6$

En la primera ecuación podemos multiplicar miembro a miembro por 2/3:

$2x+y=\frac{4}{3}\\\\2x+y=-6$

Con lo cual son paralelas para ese valor de k, la afirmación es correcta.

Haciendo k=5 en las dos ecuaciones queda:

$3x-5y=2\\2x+y=20$

En la ecuación implícita, el coeficiente de la 'x' es la ordenada del vector director y el coeficiente de la 'y' es el opuesto de la abscisa del vector director, con lo cual, haciendo el producto escalar entre los dos vectores queda:

$v_1=(5,3)\\v_2=(-1,2)\\\\(5,3).(-1,2)=5(-1)+3.2=1$

Con lo que las rectas no son perpendiculares para ese valor de k, porque los vectores directores no son perpendiculares. La afirmación es incorrecta.