Question

Desde la parte superior de un muro de 2 m se observa la base de un árbol con un ángulo de depresión de 30º y la parte más alta de dicho árbol con un ángulo de elevación de 60º. Hallar la longitud del árbol.
a) 4m
b) 6m
c) 8m
d) 10m

Answer 1

La altura del árbol es de 8 metros

Siendo correcta la opción c

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.  

Con la salvedad que los triángulos dados resultan ser notables

Dado que desde la parte superior de una pared se observa la base de un árbol con un ángulo de depresión de 30° y la copa del mismo con un ángulo de elevación de 60°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD, en donde el lado AB representa la línea visual - que está por debajo del observador- a la base del árbol-, con un ángulo de depresión de 30°, el lado DB que es una porción del árbol y a la vez coincide con la altura de la pared siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al árbol y también la distancia hasta este, en donde este otro cateto- es en este caso el adyacente-, del cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos distancia "x", la cual es una preincógnita

El triángulo ACD en donde el lado AC representa la línea visual - que está por encima del observador ubicado en la pared- a la copa del árbol-, con un ángulo de elevación de 60°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a una porción de la altura del árbol de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos distancia "y", teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo siendo la distancia "x" al árbol

Donde se pide hallar la altura "h" del árbol

Por tanto se determinará primero la distancia "x" hasta el árbol, y una vez conocida esa distancia podremos calcular la distancia "y"

Donde hallada la distancia "y" en el segundo triángulo -siendo el cateto opuesto del mismo:

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del árbol

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las distancias "x" e "y"

Emplearemos razones trigonométricas con ángulos notables

Trabajamos en el triángulo ABD

Hallamos la distancia x - distancia de la pared al árbol-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 30^o }$

$\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ altura\ pared }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ pared }{ tan(30^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {3 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{2 \ m }{ \frac{\sqrt{3} }{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 2 \ m \ . \ \frac{3}{\sqrt{3} } } }$

$\textsf{Operamos para quitar la ra\'iz del denominador}$

$\boxed{\bold { distancia\ x = 2 \ m \ . \ \frac{3}{ \sqrt{3} } \ .\ \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ x = 2 \ m \ . \ \frac{3 \sqrt{3} }{( \sqrt{3})^{2} } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ x = 2 \ . \ \frac{\not3 \sqrt{3} }{\not3 } \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 2\sqrt{3} \ metros } }$

Luego la distancia de la pared al árbol es de 2√3 metros

Conocido el valor de la preincógnita x

Trabajamos en el triángulo ACD

Hallamos la distancia y - parte de la altura del árbol-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 60^o }$

$\boxed{\bold { tan(60^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(60^o)= \frac{ distancia \ y }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = distancia \ x \ . \ tan(60^o) } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es } \bold {\sqrt{3} }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 2\sqrt{3}\ m \ . \ \sqrt{3} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 2\ . \sqrt{3} \ . \ \sqrt{3} \ m } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 2\ .\ ( \sqrt{3} )^{2} \ m } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 2 \ .\ 3 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 6 \ metros } }$

Hallamos la altura h del árbol

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Arbol\ (h) = altura \ pared \ +\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Arbol\ (h) = 2 \ m\ +\ 6 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ del \ Arbol\ (h) = 8 \ metros } }$

La altura del árbol es de 8 metros