3. Todos los alumnos de un grupo de tercero de secundaria enviaron un mensaje a cada uno de sus compañeros para saber cuál es la fruta que más les gusta. Si en total se enviaron 650 mensajes, ¿cuántos alumnos hay en el grupo? a) Para comprender mejor la situación, pueden replicarla trabajan- do por equipo en el salón. • ¿Cuántos integrantes hay en su equipo? • ¿Cuántos mensajes envía cada integrante? ¿Cuántos mensajes se envían en total? Ahora imaginen que replican la actividad con todo el grupo • ¿Cuántos alumnos son en total? Dato .
Respuestas
Respuesta:
En el grupo de tercero de secundaria hay en total 26 alumnos.
Explicación:
• ¿Cuántos integrantes hay en su equipo?
Vamos a suponer que se forma un equipo de 5 alumnos.
• ¿Cuántos mensajes envía cada integrante?
Cada alumno del grupo le puede preguntar a los otros cuatro integrantes del grupo.
¿Cuántos mensajes se envían en total?
Cada uno envía 4 mensajes y son 5 alumnos, por tanto, se enviaron 20 mensajes en el grupo de 5 alumnos.
De aquí podemos observar que para una población de n alumnos, cada uno de ellos puede enviar un mensaje a n - 1 alumnos; así que se puede construir una ecuación de segundo grado:
n = cantidad de alumnos en el grupo
m = cantidad total de mensajes enviados
n (n - 1) = m ⇒ n² - n - m = 0
Ahora imaginen que replican la actividad con todo el grupo
• ¿Cuántos alumnos son en total?
Sabemos que se enviaron 650 mensajes en total (m = 650)
n² - n - 650 = 0
Aplicamos la técnica de binomios con términos semejantes. Necesitamos dos números de distinto signo que sumados den -1 y multiplicados den -650:
n² - n - 650 = 0 ⇒ (n - 26)(n + 25) = 0
De aquí que n = 26 o n = -25
n es el número de alumnos, por tanto, debe ser positivo; así que seleccionamos n = 26
En el grupo de tercero de secundario hay en total 26 alumnos.
Tarea relacionada:
Explicación: