Question

desde lo alto de un acantilado de 48 metros de altura se observa un bote con un angulo de depresion de 74 determina la distancia entre el bote y la base del acantilado

Answer 1

La distancia entre el bote y la base del acantilado es de 14 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son aquellos determinados triángulos rectángulos que se distinguen de otros debido a que poseen determinadas características establecidas.

Los triángulos notables tienen en sus vértices ángulos interiores notables siendo posible establecer una relación entre tales ángulos y las dimensiones de sus lados.

Por tanto en esta clase de triángulos al poseer en sus ángulos ciertas dimensiones determinadas y pudiendo relacionar los ángulos notables con los lados del triángulo (y viceversa) se puede definir una constante de proporcionalidad

Donde las relaciones entre los lados y los ángulos permanecen constantes

Llamamos a esa proporción entre los lados con la letra "k", para indicar dicha proporcionalidad entre sus lados. Que como se mencionó es una constante.

Luego hallado el valor de "k" nos permitirá determinar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 74-16 (por sus ángulos)

• Este triángulo tiene un ángulo de 16° y otro de 74°, donde el lado opuesto al ángulo de 16° medirá 7k y el lado opuesto al ángulo de 74° medirá 24k y la hipotenusa medirá 25k. Donde k es siempre una constante.

Solución

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del acantilado donde se encuentra el observador en lo alto, el lado AC (b) que representa la distancia entre el bote y la base del acantilado y el lado AB (c) equivale a la línea visual desde lo alto del acantilado hasta donde se encuentra el bote al que se divisa con un ángulo de depresión de 74°

Donde se pide determinar la distancia entre el bote y la base del acantilado

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se traslada el ángulo de 74° al  punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Altura del acantilado = 48 metros

• Ángulo de depresión = 74°

• Debemos determinar la distancia entre el bote y la base del acantilado

Como conocemos el cateto opuesto (altura del acantilado) al ángulo dado y buscamos el valor del cateto adyacente (distancia entre el bote y la base del acantilado), relacionamos estos datos con la tangente del ángulo α

Como tenemos un ángulo notable

$\large\boxed{\bold { tan(74^o) = \frac{24}{7} }}$

$\boxed{\bold { tan(74^o)= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente }} }$

$\boxed{\bold { tan(74^o) = \frac{ altura \ del \ acantilado }{distancia \ bote\ a \ base \ acantilado } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ bote\ a \ base \ acantilado= \frac{ altura \ del \ acantilado }{ tan(74^o)} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ bote\ a \ base \ acantilado= \frac{ 48 \ m }{ tan(74^o) } } }$

Si

$\bold { tan(74^o) = \frac{24}{7} }$

$\boxed{\bold { distancia \ bote\ a \ base \ acantilado= \frac{ 48 \ m }{ \frac{24}{7} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ bote\ a \ base \ acantilado = 48\ m \ .\ \frac{7}{24} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ bote\ a \ base \ acantilado = \ \frac{336 }{24} \ m} }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ bote\ a \ base \ acantilado=14 \ m } }$

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La altura del acantilado es de 48 metros

Y es el lado o cateto opuesto al ángulo de 74° por lo tanto mide 24k

Planteamos

$\boxed{\bold { altura \ del \ acantilado=48 \ m= 24k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold {24k = 48 \ m }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{48 \ m }{24 } }}$

$\boxed{\bold { k =2 }}$

El valor de la constante k es de 2

La distancia entre el bote  y la base del acantilado es el lado o cateto adyacente del ángulo notable de 74°

Por tanto medirá 7k

Planteamos

$\boxed{\bold { distancia \ bote\ a \ base \ acantilado = 7k }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed{\bold { distancia \ bote\ a \ base \ acantilado = 7 \ . \ 2 }}$

Obteniendo

$\large\boxed{\bold { distancia \ bote\ a \ base \ acantilado=14 \ m } }$

Donde se arriba al mismo resultado