Question

la compañía automovilística "super carro", solamente fabrica coches muy especiales de la marca "CHEVERE" estos coches se deprecian un 20% anual durante los cinco primeros años, pero a partir d ese momento, estando en buenas condiciones, el mercado de coleccionismo los aprecian anualmente un 25% ? en cuanto en tiempo un "chevere" cuyo precio inicial fue de 20.000 $ vuelve alquirir el precio en el que se adquirio.

Answer 1

Por progresiones geométricas (PG)

Partimos del primer término que es el valor inicial del coche.
a₁ = 20.000

La razón por la que hay que multiplicar ese número es 0,8 por tratarse del 80% de su valor inicial ya que es lo que se depreciará cada año.

El nº de términos de la PG serán los 5 años.  n = 5

Acudiendo a la fórmula del término general se obtiene el valor al cabo de 5 años.

$a_n=a_1* r^{n-1} \\ \\ a_5=20000* 0,8^{5-1} =20000*0,32768=6553,6$

Ahora vuelvo a tener otra progresión geométrica igual que la anterior pero en este caso, el primer término es el que acabamos de calcular:
a₁ = 6553,6

Si ahora el 100% de su valor es 6553,6  al revalorizarse anualmente un 25%, hay que multiplicar por 1,25 que sale de 100+25 = 125% así que 1,25 será la razón.

En este caso, el dato que hay que calcular es "n" es decir, el nº de años (o fracción) que pasarán hasta que vuelva a su valor inicial que recordemos que era 20000, por tanto podemos identificar  $a_n=20000$

Vuelvo a acudir a la fórmula:
$20000=6553,6* 1,25^{n-1} \\ \\ \frac{20000}{6553,6} = \frac{1,25^{n} }{1,25^1} \\ \\ 1,25^{n}= \frac{20000*1,25}{6553,6} \\ \\ 1,25^{n}=3,814697265625$

Y ahora hay que usar logaritmos para hallar el valor de "n", cosa que yo hace mucho que olvidé y ya no he tenido ganas de volver a estudiar. 

Haciéndolo manualmente, es decir, multiplicando 1,25 por sí mismo, al elevarlo a la 6ª potencia nos sale exacto.

Es decir que la solución al ejercicio es 6 años.

Saludos.