Question

1. La ecuación del costo de un producto está dada por C(q)=3q² + 250. La ecuación de ingreso se representa por I(q) = 250q
a. Encuentre los intervalos de pérdidas y ganancias.
b. Grafique ambas funciones en un mismo gráfico de ejes cartesianos.
c. Escriba la función Utilidades en función de q, U(q) = I(q) – C(q)
d. Grafique la función U(q); calcular el máximo

Answer 1

La función utilidad  U  viene dada por:        U(q)  =  250q  -  3q²  -  250

Explicación paso a paso:

a. Encuentre los intervalos de pérdidas y ganancias.

Se trata de hallar los intervalos de valores de  q  en los que la función  I  es menor que la función  C  (pérdidas),  y los intervalos de valores de  q  en los que la función  I  es mayor que la función  C  (ganancias)

Pérdidas:

I  <  C        ⇒        250q  <  3q²  +  250        ⇒        250q  -  3q²  -  250  <  0

Ganancias:

I  >  C        ⇒        250q  >  3q²  +  250        ⇒        250q  -  3q²  -  250  >  0

Factorizamos para hallar los valores límite de los intervalos, aplicando la fórmula general de la ecuación de segundo grado:

3q²  -  250q  +  250  =  0

$q~=~\dfrac{-(-250)~\pm~\sqrt{(-250)^2~-~4(3)(250)}}{2(3)}$

El resultado no es exacto, pero los valores de q  deben ser enteros por ser unidades de producto; por tanto, redondeamos para facilitar los cálculos:

q  =  1        q  =  42

Perdidas:    q  ∈  (0, 1] ∪ [42, +∞)                

Ganancias:    q  ∈  (1, 42)

Recordar:  q  solo puede tomar valores enteros en esos intervalos.

b. Grafique ambas funciones en un mismo gráfico de ejes cartesianos.

Gráfica anexa:  C  en color naranja, I  en color verde,  U  en color azul.

c. Escriba la función Utilidades en función de q,

U(q)  =  I(q)  –  C(q)  =  250q  -  (3q²  +  250)  =  250q  -  3q²  -  250

d. Grafique la función U(q); calcular el máximo

En la gráfica anexa se muestra la función  U  en color azul. El máximo se ubica aproximadamente en el punto  (42, 4958).