Question

Determinar mediante Gauss Jordan dependencia o independencia lineal de los siguientes vectores. (1,2,1) (2,1,0) (4,5,2). Recomendación ubicar las componentes de manera vertical.

Answer 1

Bueno no es muy complicado...Un método alternativo usa el hecho que "n" vectores en Rn son linealmente independientes si y solo si el determinante de la matriz formada por estos vectores como columnas es distinto de cero...sería el más fácil...pero como quieres Gauus.Jordan...entonces,

Antes de ésto...cabe mencionar que debemos encontrar "constantes" que mutlpicadas por cada vector...nos de el vector nulo...SI ESQUE QUEREMOS QUE SEAN linealmente independientes...es decir,

$\alpha(1,2,1)+\beta(2,1,0)+\theta(4,5,2)=0$

pero solo fíjate que si alfa=2, y supongamos que beta=1, entonces haciendo la suma...te queda el tercer vector, es decir que,

$(2)(1,2,1)+(1)(2,1,0)=(1)(4,5,2) \\ (2,4,2)+(2,1,0)=(4,5,2)\\(4,5,2)=(4,5,2)$

¿cierto?...suponiendo que teta=1...es decir que hemos encontrado una combinación lineal para los vectores...pero si la suma de los dos primeros vectores por sus respectivas constantes ya nos da el tercer vector...podemos hacer que se haga nulo..considerando que beta=-1, entonces

 $(2)(1,2,1)+(1)(2,1,0)+(-1)(4,5,2)=0$

y mira¡...no sé si ya..lograste saber si es L.I o L.D...entonces,

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&4&0\\2&1&5&0\\1&0&2&0\end{array}\right] F_{2}-2F_{1}= \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&4&0\\0&-3&-3&0\\1&0&2&0\end{array}\right]F_{3}-F_{1}=...\\\\\\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&4&0\\0&-3&-3&0\\0&-2&-2&0\end{array}\right]F_{1}+F_{3}=\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&2&0\\0&-3&-3&0\\0&-2&-2&0\end{array}\right]-F_{2}\frac{1}{3},-F_{3}\frac{1}{2}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&2&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\end{array}\right]F_{3}-F_{2}=$

es decir que,

$\displaystyle\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{array}\right]$

de aquí tienes que el sistema tiene infinitas soluciones ¿verdad?, podemos ubicarle un parámetro a la variable que totalmente se nos anuló...es decir

$\theta=t$

entonces,


$\displaystyle\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{array}\right]\equiv\theta=t,\beta=-\theta=-t,\alpha=-2\theta=-2t\\\\\\Solucion: \left[\begin{array}{c}\alpha&\beta&\theta\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2t&-t&t\end{array}\right] =t\left[\begin{array}{c}-2&-1&1\end{array}\right]\hspace{6mm}\forall t\in\Re$

y si te das cuenta , es lo mismo que predijimos al comienzo...es que se lo veía así al ojo...por supuesto por predije que sería, 2,1,-1, aquí nos dió los inversos..pero no hay problema, -2,-1,1 es lo mismo¡...

Pero la MORALEJA es que encontramos una combinación lineal entre los vectores, entonces quiere decir que son LINEALMENTE DEPENDIENTES...

Si gustas puedes hallar el determinante primero..y así te aseguras de que sean LI o LD,

Son LI: si el determinante vale distinto de cero
Son LD: si el determinante es igual a cero.

es una "ayuda", para que cuando no estés segura de ser o no ser  ...éste te ayuda¡..