Question

Hola me podrian ayudar con mi tarea, la verdad no entiendo como comenzar, gracias

Encuentre el área de las regiones sombreadas.

Ejercicio 1. utilice la identidad trigonométrica: 2(cos⁡x)^2=1+cos⁡2x

Answer 1

Bueno, no es muy complicado...cuando tengas áreas "medias extrañas" o que estén feas por no saber acotarlas...

Puedes ir armando el área, por ejemplo, el área de un rectángulo..es decir desde 0 hasta pi, imagina el rectángulo...ahora le vamos a quitar las zonas en color blanco...entonces nos queda,

 $\displaystyle A=\int_{0}^{\pi}{1}dx-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{2}(x)}dx-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\cos^{2}(x)}dx$

pero si te das cuenta...las áreas en color blanco son las mismas..puesto que las funciones trignométricas son simétricas...entonces podemos comprimir esas dos integrales así,

y de una vez vamos a hacer el reemplazao de la identidad trignométrica para la integral del coseno cuadrado, que nos queda,

$\displaystyle\cos^{2}(x)=\frac{\cos(2x)+1}{2}\\\\\\\displaystyle A=\int_{0}^{\pi}{1}dx-2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos(2x)+1}{2}}dx\\\\A=\left(x\right|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos(2x)+1}dx=\pi-\left(\frac{\sin(2x)}{2}+x\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

y ya..ahora solo falta evaluar eso,

$\displaystyle\pi-\left[\left(\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2}+\frac{\pi}{2}\right)-\left(\frac{\sin(2(0))}{2}+(0)\right)\right]=\pi-\frac{1+\pi}{2}=\frac{\pi-1}{2}$

y eso sería todo