¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la recta a la que pertenecen los puntos ( 2 ; 5 ) y ( 4 ; 11 )?

y = 3 x – 1

y = - 3 x – 11

y = – 1 x + 3

y = - 3 x – 1

Respuestas

Respuesta dada por: roycroos

✅ Concepto básico

Una recta es la unión de un conjunto infinito de puntos en una misma dirección.

Según un postulado de la Geometría Euclidiana basta con conocer dos puntos para poder determinar su ecuación.

Además para poder resolver este problema necesitamos recordar que la pendiente está definido como:

$\boxed{\boldsymbol{\mathrm{m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}}}$

Donde

☛ $\mathsf{(x_1,y_1)\:y\:(x_2,y_2): Pares\:ordenados}$ ☛ $\mathsf{m: Pendiente}$

✅ Desarrollo del problema

Identificamos nuestros pares ordenados:

$\star\:\:\:\:\mathsf{\boldsymbol{(}\:\overbrace{\boldsymbol{2}}^{x_1}\:\boldsymbol{,}\:\underbrace{\boldsymbol{5}}_{y_1}\:\boldsymbol{)}}$ $\star\:\:\:\:\mathsf{\boldsymbol{(}\:\overbrace{\boldsymbol{4}}^{x_2}\:\boldsymbol{,}\:\underbrace{\boldsymbol{11}}_{y_2}\:\boldsymbol{)}}$

Reemplazamos

$\mathsf{\:m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\\\\\\\mathsf{m=\dfrac{11-(5)}{4-(2)}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:m=\dfrac{6}{2}}\\\\\\{\:\:\mathsf{\boxed{\boldsymbol{m=3}}}$

Ahora que sabemos cuánto vale la pendiente usamos la misma fórmula de pendiente para determinar la ecuación de la recta, entonces

$\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:m = \dfrac{y-y_o}{x - x_o}}\\\\\mathsf{\:\:\:y-y_o = m(x - x_o)}\\\\\mathsf{[y - (5)] = (3)[x - (2)]}\\\\\mathsf{\:\:(y - 5) = (3)(x - 2)}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:y - 5 = 3x - 6}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:y = 3x - 6 + 5}\\\\{\:\:\:\:\underbrace{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{y = 3x - 1}}}}}_{\mathsf{Ecuaci\'on\:de\:la\:recta}}}$