los números cuyo valor absoluto es el mismo Está en la misma distancia del cero verdadero o falso
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Respuesta
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La primera desigualdad implica:
-3 < x - 5 < 3 Þ -3 + 5 < x < 3 + 5 Þ 2 < x < 8
Además se debe verificar que 0 < ½ x - 5½ . Como el valor absoluto es siempre positivo o nulo, los únicos valores de x que no verifican la desigualdad anterior son los que anulan ½ x - 5½.
Resolver ½ x - 5½ > 0 es equivalente a resolver ½ x - 5½ ¹ 0, de donde, x ¹ 5.
La solución es la unión de dos intervalos (2, 5) È (5, 8). Geométricamente representa el conjunto de puntos de la recta cuya distancia al 5 es menor que 3 pero distinta a 0.
Ejemplo. Sea el conjunto C = {x / x Î R Ù ½ 3x - (x - 6)½ £ 5}. Grafíquelo e indique el intervalo que determina.
Aplicando la propiedad ½ a½ < k Û -k < a < k y resolviendo se obtiene:
-5 £ 3x - (x - 6) £ 5 Þ -5 £ 3x - x + 6 £ 5 Þ -5 £ 2x + 6 £ 5 Þ
-5 - 6 £ 2x £ 5 - 6 Þ - 11 £ 2x £ - 1 Þ {short description of image}
La solución es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre {short description of image} y {short description of image}, incluidos los extremos que representa el intervalo cerrado {short description of image}.
Su gráfica es: {short description of image}
Ejemplo. Sea el conjunto F = {x / x Î R Ù ½ 3x - (m - x)½ < 3}. Determine el valor de m para que resulte el conjunto de todos los números reales que están a menos de {short description of image} unidades de distancia de - {short description of image}.
Representando gráficamente todos los valores de x que están a menos de {short description of image} unidades de distancia de - {short description of image} resulta el intervalo {short description of image}, o sea {short description of image}.
Para encontrar el valor de m, se resuelve la desigualdad: ½ 3x - m + x½ < 3 Þ ½ 4x - m½ < 3
Sacando factor común 4 y aplicando las propiedades del valor absoluto: 4{short description of image} Þ {short description of image}
Por lo tanto {short description of image} Þ m = -2.
O también: ½ 3x - m + x½ < 3 Þ ½ 4x - m½ < 3 Þ - 3 < 4x - m < 3 Þ {short description of image}
Por lo tanto debe verificarse {short description of image} = {short description of image} y {short description of image} = {short description of image}.
Resolviendo la primera se obtiene:
{short description of image} = {short description of image} Þ -3 + m = -5 Þ m = -5 + 3 Þ m = -2
Este valor de m verifica la otra igualdad, por lo tanto para que el conjunto F represente el conjunto pedido, m = -2.
Ejemplo. Sea el conjunto D = {x / x Î R Ù 0 <½ (x - 1).2 - x½ < 4}. Grafíquelo e indique el o los intervalos que determina.
Si 0 <½ (x - 1).2 - x½ < 4 Þ 0 <½ 2x – 2 – x½ < 4 Þ 0 <½ x – 2½ < 4.
Para resolver esta desigualdad se debe tener en cuenta que ½ x - 2½ < 4 y a la vez ½ x - 2½ > 0. De acuerdo a la propiedad 2 de valor absoluto resulta:
½ x - 2½ < 4 Þ - 4 < x - 2 < 4 Þ - 4 + 2 < x < 4 + 2 Þ - 2 < x < 6
La desigualdad ½ x - 2½ > 0 se verifica para todo valor real de x excepto para el que la diferencia x - 2 es nula.
La inecuación ½ x - 2½ > 0 es equivalente a x - 2 ¹ 0.
La solución es el conjunto de los números reales excepto el valor 2 (x ¹ 2).
Teniendo en cuenta las soluciones obtenidas de ambas desigualdades, se puede decir que el conjunto solución está formado por todos los números reales comprendidos entre –2 y 6 excepto 2 que se puede expresar como la unión de dos intervalos, (-2, 2) È (2, 6).
Ejemplo. Encuentre el valor de m de manera tal que la desigualdad 0 < ½ x + 2m½ < - 8m tenga como solución a (–3,1) È (1,5).
Los números reales pertenecientes a (–3,1) È (1,5) son los que verifican -3 < x < 5 y x ¹ 1.
La expresión ½ x + 2m½ < -8m se verifica para todos los valores de x que están a una distancia menor que -8m de -2m. Por lo tanto -2m = 1 y -8m = 4, de donde resulta m = {short description of image}.
También se puede encontrar el valor de m resolviendo la desigualdad dada.
A partir de½ x + 2m½ < -8m se obtiene:
8m < x + 2m < -8m Þ 8m - 2m < x < -8m - 2m Þ 6m < x < - 10m
Además, de la expresión ½ x + 2m½ > 0, se deduce: x + 2m ¹ 0 Þ x ¹ -2m
Comparando las desigualdades, se debe cumplir que: 6m = -3 y -10m = 5, de donde m = {short description of image}.
Se verifica además que para m = {short description of image} el valor de x resulta distinto de 1
Explicación paso a paso:
Respuesta:
VERDADERO
Explicación paso a paso:
ya que el valor absoluto es una norma
Una norma es una operación N que agarra una
cosa a y devuelve un número real x
N(a)≥0 , y N(a)=0 si y solamente si a=0.
N(a+b)≤N(a)+N(b).
Dado un número real λ, se tiene que N(λa)=|λ|N(a).
Nota que ahí ya se usa el valor absoluto. Ahora pensemos en cuál podría ser la motivación detrás de definir una cosa como el valor absoluto:
|a|=a si a≥0 y |a|=−a si a<0 .
Pensemos en la distancia desde un número hasta el 0 :
Espero aberte ayudado