Question

Una empresa distribuidora de productos químicos se encuentra en la fabricación de un nuevo depósito exclusivo para el transporte de sustancias corrosivas. Para ello, el área de simulación de la empresa ha diseñado la estructura del depósito el cual se obtiene al girar sobre el eje X una región en el plano limitada por las funciones f y g definidas por f(x)=√x, g(x)=sen(x) y por las rectas verticales con ecuaciones x=0 y x=2. De acuerdo a la información, y considerando que la unidad de medida en el diseño está dada en metros, ¿cuál será el volumen del sólido que conforma la estructura del depósito?
SOLUCIÓN EN LA IMAGEN
PARA EXAMENES DE CÁLCULO AL 947670489

Answer 1

El volumen del nuevo depósito exclusivo para el transporte de sustancias corrosivas es de  0,81 π  metros cúbicos, aproximadamente.

Explicación paso a paso:

Anexa la gráfica de la región plana acotada por las funciones  f  y  g  y las bandas verticales dadas. En particular, se sombrea la porción que genera el sólido de revolución con el detalle del rectángulo diferencial.

Vamos a resolver el problema usando el método de discos o arandelas para el cálculo de volumen de sólidos de revolución:

$\bold{V~=~\pi \int\limits^b_a {(R^{2}~-~r^{2})} \, dx}$

donde:

(a, b)    es el intervalo que abarca la región plana en el eje de integración

R    distancia que representa el radio mayor o exterior del sólido de revolución que se genera.

r    distancia que representa el radio menor o interior del sólido de revolución que se genera.

En el caso que nos ocupa:

$\bold{V~=~\pi \int\limits^2_0 {\{[\sqrt{x}]^{2}~-~[Sen(x)]^{2}\}} \, dx\qquad\Rightarrow}$

$\bold{V~=~\pi \int\limits^2_0 {[x~-~Sen^2(x)]} \, dx\qquad\Rightarrow}$

$\bold{V~=~\pi \int\limits^2_0 {[x~-~\dfrac{1}{2}~+~\dfrac{Cos(2x)}{2}]} \, dx\qquad\Rightarrow}$

$\bold{V=~\pi\left[\dfrac{x^2}{2}~-~\dfrac{x}{2}~+~\dfrac{Sen(2x)}{4}\right]\limits^2_0 \qquad\Rightarrow\qquad V~\approx~0,81~\pi \quad m^3}$

El volumen del nuevo depósito exclusivo para el transporte de sustancias corrosivas es de  0,81 π  metros cúbicos, aproximadamente.