Question

Ejercicio 4.- Considera el punto P(−3, 1, 6) y la recta r dada por (

2x − y − 5 = 0
y − z + 2 = 0

a) [1’25 puntos] Determina la ecuaci ́on del plano que pasa por P y es perpendicular a r.

b) [1’25 puntos] Calcula las coordenadas del punto sim ́etrico de P respecto de la recta r.

Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II.

 

a)       El primer paso es escribir la recta de forma paramétrica, obteniendo:

r = 

$x=t$

$y=-5+2t$

$z=-3+2t$

podemos ver que el vector director es igual a (1,2,2) y que este vector es el normal al plano, de esta forma, es correcto decir que los planos perpendiculares a la recta son de la siguiente forma:

$x+2y+2z+D=0$

para que pase por el punto (-3,1,6) sustituimos:

$-3+2.1+2.6+D=0$ ⇒ $D=-11$ 

el plano que buscamos es: $x+2y+2z-11=0.$

b) para obtener el punto simetrico de P con respecto a r primero calcularemos el punto de corte entre la recta y el plano.

$x+2y+2z-11=0$ ⇒ $x+2.(-5+2t)+2.(-3+2t)-11=0$ ⇒ $t=3$.

el punto de corte es: $M = (3,-5+2.3,-3+2.3) = (3,1,3)$

El punto que buscamos, P'(i,j,k) lo calculamos cumpliendo:

$\frac{(-3,1,6)+(i,j,k)}{2}= (3,1,3)$ ⇒ $P'=(9,1,0)$