Question

Resuelva los siguientes ejercicios con su respectivo desarrollo y justificación de los pasos. 1. Determine si la siguiente función es continua. En caso de no serlo de- termine si su(s) discontinuidad(es) es(son) reparable(s) o irreparable(s). En caso de tener discontinuidades reparables redefínala de modo que sea continua en dicho punto.​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

                  Función Continua

Una función f:x ⇒ R es continua en un punto "a" si:

• a ∈ Dom(f)

• Lim  f(x)     existe

       x ⇒ a

• Lim    f(x)=  f(a)

        x ⇒ a

A su vez, para que el limite  exista, se debe cumplir que:

            $\lim_{x \to a^{+} } f(x)= \lim_{x \to a^{-} } f(x)$

Es decir, que los limites laterales coincidan

Analizaremos el comportamiento de la función  en x= 4

Claramente 4 ∈ Dom(f)

Además:  f(4)=  2

Veamos si el limite existe

Por un lado tenemos:

$\lim_{x \to 4^{-}- } f(x)= \lim_{x\to 4^{-} } \frac{x^{2} +8x-48}{x^{2} -16}$  

$\lim_{x \to 4^{-} } \frac{(x+12)(x-4)}{(x+4)(x-4)}$

$\lim_{x \to 4^{-} } \frac{x+12}{x+4}$

$\frac{4+12}{4+4} = 2$

Por otro lado:

$\lim_{x \to 4^{+} }f(x)= \lim_{x \to 4^{+} } \frac{x-4}{2-\sqrt{8-x} }$

Racionalizamos el denominador:

$\lim_{x \to 4^{+} }[ \frac{x-4}{2-\sqrt{8-x} } *\frac{2+\sqrt{8-x} }{2+\sqrt{8-x} } ]$

$\lim_{x \to 4^{+} } \frac{(x-4)(2+\sqrt{8-x}) }{2^{2}-(\sqrt{8-x})^{2} }$

$\lim_{x \to 4^{+} } \frac{(x-4)(2+\sqrt{8-x}) }{4-8-x}$

$\lim_{x\to 4^{+} } \frac{(x-4)(2+\sqrt{8-x}) }{x-4}$

$\lim_{x \to 4^{+} } (2+\sqrt{8-x})$

$2+\sqrt{8-4}$

$4$  

Como llegamos a que:

$\lim_{x \to 4^{-} }f(x) \neq \lim_{x \to 4^{+} } f(x)$

La función presenta una discontinuidad irreparable

Te dejo un ejercicio similar

• https://brainly.lat/tarea/52247975

Saludoss