Question

Una circunferencia corta al eje x en dos puntos, tiene de radio 10 unidades, el centro está en (-2,k) y pasa por el punto (8,-4).Hallar la ecuación general de dicha circunferencia.

Answer 1

La distancia entre el centro: (-2 , k) al punto (8 , -4) es igual al radio 10 unidades, distancia entre dos puntos.

d = 10

$d= \sqrt{(X2 - X1)^{2} + (Y2 - Y1)^{2} }$

X1 = - 2; Y1 = k; X1 = 8; Y2 = -4

$d= \sqrt{(8 - (-2))^{2} + (-4 - k)^{2} }$

$d= \sqrt{(10)^{2} + (-4 - k)^{2} }$

$d= \sqrt{100+ 16 + 8k + k ^{2}}$

$d= \sqrt{116 + 8k + k ^{2}}$

$10=\sqrt{116 + 8k + k ^{2}}$

Elevamos ambos terminos al cuadrado.

$(10)^{2} =(\sqrt{116 + 8k + k ^{2}})^{2}$

100 = 116 + 8k + k²

0 = 116 - 100 + 8k + k²

0 = 16 + 8k + k²

0 = k² + 8k + 16 (Ecuacion de segundo grado)

Donde: a = 1; b = 8; c = 16

$k=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$k=\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4(1)(16)}}{2(1)}$

$k=\frac{-8\pm \sqrt{64-64}}{2}$

$k=\frac{-8\pm \sqrt{0}}{2}$

$k=\frac{-8}{2}$

k = -4

Ahora reemplazamos el valor de k = -4

Centro: (-2 , -4)

Ecuacion de la circunferencia.

(X - h)² + (Y - k)² = r²

Donde: (h,k) = Centro de la circunferencia.

(-2 , -4): h = -2; k = -4

r = 10

(X - (-2))² + (Y - (-4))² = 10²

(X + 2)² + (Y + 4)² = 100

(X² + 4X + 4) + (Y² + 8Y + 16) = 100

X² + 4X + 4 + Y² + 8Y + 16 = 100

X² + 4X + Y² + 8Y + 20 = 100

X² + 4X + Y² + 8Y + 20 - 100 = 0

X² + 4X + Y² + 8Y - 80 = 0 (Ecuacion general de la circunferencia)

Te anexo la grafica