De un grupo de estudiantes de idiomas, se sabe
que 100 estudian ingles o francés y además 70
estudian inglés y 50 estudian e francés ¿Cuántos
estudian inglés y francés ?
Respuestas
Solución: 90 estudiantes estudian varios idiomas, además 60 estudian francés, 70 estudian ingles y 40 estudian ingles y francés, por lo que 30 solo estudian ingles y 20 solo estudian francés.
Explicación paso a paso:
Sea A el conjunto de los estudiantes que estudian ingles, sea B el conjunto de los estudiantes que estudian francés.
Sea el cardinal de un conjunto el tamaño cantidad de elementos del mismo. Que se representa con las barras | |, tal que el cardinal d eun conjunto C sea: |C|.
Entonces por teoría de conjunto tenemos la siguiente ecuación
|A∪B|= |A|+|B|-|A∩B|
En este caso
|A| = 70
Complemento(|AUB|)= 20
Pero |AUB|+Complemento(|AUB|) = 110
|AUB|+20= 110
|AUB|= 90
90 estudiantes estudian ambos idiomas. Veamos otras cosas.
Los que estudian francés es el doble de los que solo estudian ingles.
Entonces
|B| = 2(|A|-|A∩B|) = 2*70-2|A∩B| = 140-2|A∩B|
Sustituyendo en la ecuación 1:
|A∪B|= |A|+140-2|A∩B| -|A∩B| = |A|+140-3|A∩B|
⇒90 = 70+140-3*|A∩B|
3*|A∩B| = 210-90
|A∩B| = 40
|B| = 140-2*40= 140-80 = 60
60 estudian francés, 70 estudian ingles y 40 estudian ingles y francés, por lo que 30 solo estudian ingles y 20 solo estudian francés.