Question

Una excavadora se dirige hacia una construcción cuya altura es de 480 m a una velocidad de 60 m/s. ¿Con qué rapidez crece el ángulo subtendido por la construcción y el ojo del conductor, cuando éste se encuentra a 640 m de la torre?

Answer 1

Respuesta:

ESPERO QUE TE AYUDE

Explicación paso a paso:

Answer 2

El ángulo subtendido por la parte alta de la construcción y el ojo del conductor, cuando este se encuentra a 640 m de la torre de 480 m, crece con una rapidez aproximada de  0.05  radianes/s.

¿Qué es una razón de cambio?

Una razón de cambio es el cambio que ocurre en una variable dependiente producto de las variaciones en la variable independiente, y se calcula por medio de la derivación.

Generalmente, las razones de cambio involucran variables implicitas, por ejemplo, el caso estudio involucra las razones de cambio de las longitudes y ángulos en el triángulo con respecto al tiempo. El tiempo es la variable independiente y es implícita.

La base y la azotea de la construcción junto con la retroexcavadora forman un triángulo rectángulo con un cateto fijo, la altura  y  de la construcción, y dos lados variables, la hipotenusa  z  desde la retroexcavadora hasta la azotea, y el otro cateto, la distancia horizontal  x  que separa la retroexcavadora de la base de la construcción.

La hipotenusa  z  y la horizontal  x  forman un ángulo, que llamaremos  α, del cual se desea conocer su rapidez de crecimiento en las condiciones dadas.

Usaremos la expresión de la razón trigonométrica Cotangente en el triángulo rectángulo:

Ctg(α)  =  x/y    

Derivando implícitamente con respecto al tiempo  t   (y  es constante)

$\bold{-Csc^2(\alpha)\cdot\dfrac{d\alpha}{dt}~=~\dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{dx}{dt}}$

Se desea conocer  dα/dt  cuando  

dx/dt  =  -60  m/s (disminuye)              x  =  640  m              y  =  480  m

Hace falta conocer  α  en ese instante, para ello:

$\bold{Ctg(\alpha) ~=~\dfrac{CatAd}{CatOp}~=~\dfrac{640}{480}~=~\dfrac{4}{3}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{ \alpha ~=~ArcCtg(\dfrac{4}{3})\approx~37^{o} }$

Sustituimos en la derivada:

$\bold{-Csc^2(37^{o})\cdot\dfrac{d\alpha}{dt}~=~\dfrac{1}{480}\cdot(-60)\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{d\alpha}{dt}~=~\dfrac{ Sen^2(37^{o})}{8}~\approx~0.05~\dfrac{rad}{s}}$

El ángulo subtendido por la parte alta de la construcción y el ojo del conductor, cuando este se encuentra a 640 m de la torre de 480 m, crece con una rapidez aproximada de  0.05  radianes/s.

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