Question

un futbolista patea un balon desde el suelo con una velocidad inicial de 10m/s , si el ángulo que forma el balón con el suelo es de 30º , determine la altura máxima que alcanza el balón, la distancia en que cae y el tiempo que se mantuvo en el aire​

Answer 1

La altura máxima que alcanza el balón es de 1.25 metros

El alcance horizontal del balón es de 8.66 metros

El tiempo de permanencia en el aire del proyectil es de 1 segundo

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

Determinamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\bold \ \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(10 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (30^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 30 grados es de }\bold{ \frac{1}{2} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{100\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{1}{2}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{100\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{1}{4} }{ 20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{100\ \ . \ \frac{1}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{100}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{25 }{20 } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 1.25\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el balón es de 1.25 metros

Hallamos el alcance horizontal o alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (10 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 30 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{100\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (60 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{100\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{\not2 \ . \ 50\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 50\ \ . \ \sqrt{3} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 50 \ . \ 1.73205080756 }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 86.602540378 }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =8.66025\ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =8.66 \ metros }}$

El alcance horizontal $\bold{x_{MAX} }$ del balón es de 8.66 metros

Calculamos el tiempo de vuelo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (10 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (30^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{20\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{1}{2} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{24\ \ . \ \frac{1}{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ \frac{20}{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{10 }{10 } \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =1 \ segundo }}$

El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del balón es de 1 segundo

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento