Question

hola buenas, alguien que me pueda ayudar con el ejercicio 1 porfa:( estoy demasiado complicada

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

                 Función Continua

Una función f:x ⇒ R es continua en un punto "a" si:  

• a ∈ Dom(f)

• Lim  f(x)     existe

       x ⇒ a

• Lim    f(x)=  f(a)

       x ⇒ a

A su vez, para que el limite  exista, se debe cumplir que:

              $\lim_{x \to a^{+} } f(x)= \lim_{x \to a^{-} } f(x)$

Es decir, deben coincidir los límites laterales,

Veamos el ejercicio, nos pide determinar si f(x) es continua en x= 0

Claramente 0 ∈ Dom(f), lo cual nos asegura la primera condición de continuidad

Si calculamos f(0):

$f(0)= \frac{1}{2}$

Calculemos los limites laterales, por un lado:

$\lim_{x \to 0^{-} } 6\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}) }{x}$

Racionalizamos el numerador, multiplicando por su conjugado

$\lim_{x \to 0^{-} } [6(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} }{x} *\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} }{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} } )]$

$\lim_{x \to 0^{-} }6*[ \frac{(\sqrt{1+x})^{2}-(\sqrt{1-x})^{2} }{x*(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}) } ]$

$\lim_{x \to 0^{-} }\frac{1+x-1+x}{x*(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} ) }$

$\lim_{x \to 0^{-} } \frac{6*2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} }$

$\frac{12}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0} } = \frac{12}{2} =6$

Por otro lado:

$\lim_{x \to 0^{+} }\frac{5x^{2} }{sen^{2} (x)} +\frac{lxl}{x}$

Como el 0 es positivo, omitimos el valor absoluto:

$\lim_{x \to 0^{+} } \frac{5x^{2} }{sen^{2}(x) } +\frac{x}{x}$

$\lim_{x \to 0^{+} } \frac{5x^{2} }{sen^{2}(x) } +1$

Por suma de limites:

$\lim_{x \to 0^{+} } \frac{5x^{2} }{sen^{2}(x) } + \lim_{x \to 0^{+} }1$

Para el primero usaremos la regla de L'Hopital para el primer limite, en el cual derivaremos numerador y denominador, nos quedará:

$\lim_{x \to 0^{+} } \frac{10x}{sen(2x)} +1$

Nuevamente usando está regla, obtenemos:

$\lim_{x \to 0^{+} } \frac{10}{2*Cos(2x)} +1$

$\frac{10}{2*Cos(2*0)} +1$

$5+1=6$

Como los límites laterales coinciden, entonces:

Lim    f(x)  ∃

x⇒0

Pero vemos que

Lim   f(x) ≠  f(0)

x⇒ 0

Por lo tanto la función presenta una discontinuidad reparable

Saludoss