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LÍMITES LATERALES
En esta página explicamos intuitivamente el concepto de límite lateral de una función, con ejemplos y gráficas, y proporcionamos algunos ejemplos de funciones cuyos límites laterales no coinciden.
1. Recordatorio
Conviene recordar el concepto de límite:
Decimos que la función f(x) tiende a L cuando x tiende a a (o que el límite de f(x) en a es L ) si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a.
Lo expresamos mediante
Por ejemplo, el límite de la función x2 cuando x tiende a 2 es 4:
El concepto de límite lateral es el mismo, pero considerando que x se aproxima al punto a sólo por su derecha o por su izquierda.
2. Límite lateral
El límite de f(x) por la izquierda de a es L si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su izquierda.
Lo denotamos por
límites laterales
Análogamente, el límite de f(x) por la derecha de a es L si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su derecha.
Lo denotamos por
límites laterales
Ejemplo:
Consideremos la función f(x) = 1/x . Queremos calcular sus límites laterales en el punto x=0.
Cuando x toma valores cercanos a 0 por su derecha, f(x) toma valores positivos grandes:
Por tanto, su límite por la derecha es infinito positivo:
el límite por la derecha de 0 de 1/x es +infinito
Cuando x toma valores cercanos a 0 por su izquierda, f(x) toma valores negativos pequeños:
Por tanto, su límite por la izquierda es infinito negativo:
el límite por la derecha de 0 de 1/x es -infinito
Gráfica de la función:
gráfica de la función 1/x
Lógicamente, hablamos del límite de una función en un punto cuando sus límites laterales coinciden:
límites laterales
Si no es así, decimos que el límite en a no existe. Esto es lo que ocurre en el ejemplo anterior, así que
no existe el límite de 1/x en x=0 porque los límites laterales no coinciden
3. Ejemplos
Veamos dos ejemplos típicos de funciones cuyos límites laterales no coinciden.
Ejemplo 1
En las funciones racionales (fracciones de polinomios), los puntos que anulan al denominador son puntos donde, generalmente, los límites laterales no coinciden.
Por ejemplo,
límites laterales en los puntos 1 y -1 de la función 1/(x^2-1)
Gráfica:
gráfica de la función 1/(x^2-1)
Ejemplo 2
En las funciones definidas a trozos es habitual que no coincidan los límites laterales en los puntos donde cambia la definición.
Por ejemplo, sea la función
función por partes
Los límites laterales en 0 son
límites laterales de la función por partesGráfica:
gráfica de la función por partes
En cálculo, un límite unilateral es cualquiera de los dos límites de una función f (x) de una variable real x cuando x se acerca a un punto especificado ya sea por la izquierda o por la derecha. El límite cuando x disminuye en valor acercándose a a se puede denotar
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