Question

En un grupo de 30 alumnos, 16 aprobaron el curso de matemáticas, 16 el En un grupo de 30 alumnos, 16 aprobaron el curso de matemáticas, 16 el de biología y 12 el de química. Si 3 alumnos aprobaron las tres materias, 5 solamente biología y química, 2 sólo química y 4 únicamente biología, halla:
1. El número de alumnos que aprobaron solamente matemáticas y biología
2. El número de alumnos que aprobaron solamente matemáticas.
3. El número de alumnos que reprobaron en las tres materias.

Answer 1

De un grupo de alumnos se puede obtener el número de alumnos que:

1. Solamente aprobaron matemáticas y biología es:

  4

2. Aprobaron solamente matemáticas es:

   7

3. Reprobaron en las tres materias es:  

   3

¿Qué es la teoría de conjuntos?

Es la representación de las posibles relaciones que existen entre varios conjuntos. Y por medio del diagrama de Venn, que es la representación gráfica de la teoría de conjuntos, se puede obtener dicha relación.

Operaciones entre conjuntos:

• A U B: la unión de A con B, son los elementos de A más los elementos de B.
• A ∩ B: la intersección de A con B son los elementos que compartes ambos conjuntos.
• A - C: la diferencia de conjuntos son los valores de A que no comparta con C.
• ∅: conjunto nulo, son elementos que no pertenecen al subconjunto, pero son parte del universo.
• U: universo contiene todos los subconjuntos.

1. ¿Cuál es el número de alumnos que aprobaron solamente matemáticas y biología?

Definir;

• U: universo (30 alumnos)
• M: matemática
• B: biología
• Q: química
• ∅: reprobaron

Aplicar teoría de conjuntos.

• U = M + B + Q + (M ∩ B) + (M ∩ Q) + (B ∩ Q) + (M ∩ B ∩ Q) + ∅
• M + (M ∩ B) + (M ∩ Q) + (M ∩ B ∩ Q) = 16
• B + (M ∩ B) + (B ∩ Q) + (M ∩ B ∩ Q) = 16
• Q + (M ∩ Q) + (B ∩ Q) + (M ∩ B ∩ Q) = 12
• (M ∩ B ∩ Q) = 3
• (B ∩ Q) = 5
• Q = 2
• B = 4

Sustituir;

4 + (M ∩ B) + 5 + 3 = 16

(M ∩ B)  = 16 - 12

(M ∩ B) = 4

2. ¿Cuál es el número de alumnos que aprobaron solamente matemáticas?

2 + (M ∩ Q) + 5 + 3 = 12

(M ∩ Q) = 12 - 10

(M ∩ Q) = 2

M + 4 + 2 + 3 = 16

M = 16 - 9

M = 7

3. ¿Cuál es el número de alumnos que reprobaron en las tres materias?

30 = 7 + 4 + 2 + 4 + 2 + 5 + 3 + ∅

Despejar ∅;

∅ = 30 - 27

∅ = 3

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