Question

Encontrar la derivada de la función
$f(x) = ( \frac{3x - 1}{ {x}^{2} + 3 } )^{2}$
​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

              Reglas de Derivación

Para resolver este ejercicio, debemos tener en cuenta lo siguiente:

                         Regla de la Cadena

"Si g es una función derivable en "x" y f otra función derivable en g(x), entonces si tomamos la función F(x)= f(g(x))   (esta es la función compuesta), esta será derivable en "x" y su derivada se calcula de la siguiente manera:"

                          F'(x)= f'(g(x)) ×g'(x)

                 Regla del cociente

"Sean f y g dos funciones derivables, entonces:"

             $[\frac{f(x)}{g(x)} ]'= \frac{g(x)*f'(x)-f(x)*g'(x)}{[g(x)]^{2} }$

         Derivada de una constante

            Sea f(x)= C       ⇒   f'(x)= 0

        Derivada de la función identidad

            Sea f(x)= x   ⇒      f'(x)= 1    

                 Regla de la potencia

Sea f(x)= xⁿ        ⇒     f'(x)) n×xⁿ⁻¹             Para un n ∈ R

Tenemos la función:

$f(x)= (\frac{3x-1}{x^{2} +3} )^{2}$

Denotemos a "u" como:

$u= \frac{3x-1}{x^{2} +3}$

Entonces nos queda:

$f(x)= u^{2}$

La derivada de u² es:

$2u$

$2(\frac{3x-1}{x^{2} +3})$

$\frac{6x-2}{x^{2} +3}$

Calculemos ahora la derivada de u

$u'= (\frac{3x-1}{x^{2} +3} )'$

Usamos regla del cociente:

$\frac{x^{2} +3*(3)-[3x-1*(2x)]}{(x^{2} +3)^{2} }$

$\frac{3x^{2} +9-(6x^{2} -2x)}{(x^{2} +3)^{2} }$

$\frac{3x^{2} +9-6x^{2} +2x}{(x^{2} +3)^{2} }$

$\frac{-3x^{2} +2x+9}{(x^{2} +3)^{2} }$

Finalmente, por regla de la cadena:

$F'(x)= \frac{6x-2}{x^{2} +3} *\frac{-3x^{2} +2x+9}{(x^{2} +3)^{2} }$

$F'(x)= \frac{-18x^{3}+18x^{2} +50x-18 }{(x^{2} +3)^{3} }$    Solución

Te dejo algunos ejercicios similares

• https://brainly.lat/tarea/48603175

• https://brainly.lat/tarea/48503328

Saludoss