2. a) Periodicidad espacial y temporal de las ondas; su interdependencia.
b) Escriba la ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X e
indique el significado de las magnitudes que aparecen en ella. Escriba la ecuación de otra onda
que se propague en sentido opuesto y que tenga doble amplitud y frecuencia mitad que la
anterior. Razone si las velocidades de propagación de ambas ondas es la misma.
Prueba de Selectividad, Andalucia, Septiembre 2015-2016, FISICA
Respuestas
a) Periodicidad espacial y temporal de las ondas; su interdependencia.
La ecuación de una onda armónica depende de la posición y el tiempo, esta expresión es:
Y(x, t) = A*Cos(kx – ωt + φ)
Si se mantiene fijo un valor de x, es posible determina que la posición de equilibrio es periódica con respecto al tiempo para cualquier punto en dicha onda.
Si se toman dos puntos del tiempo t1 y t2 y la diferencia entre ambos representa un periodo de onda, se observa que el punto alcanza un mismo estado tanto en su punto 1 como en el 2. De esta forma se demuestra que:
(kx – ω*t1 + φ) – (kx – ω*t2 + φ) = 2π*n
ω * (t2 – t1) = 2π*n
Si ω = 2π/T:
n*T = (t2 – t1)
Con lo que se comprueba que el estado de la onda se repite en cada periodo.
Las posiciones en cada punto de un periodo se repiten con una diferencia igual a la longitud de ondas.
Haciendo a t = constante, es posible determinar que la posición que alcanza cualquier onda es periódico.
(kx2 – ω*t + φ) – (kx1 – ω*t + φ) = 2π*n
k (x2 – x1) = 2π*n
x2 – x1 = 2π*n/k
Si k = 2π/λ:
x2 – x1 = 2π*n/(2π/λ)
x2 – x1 = n*λ
Con esto se demuestra que la vibración de la onda se repite con cada periodo.
Finalmente se tiene que al relacionar (t2 – t1) con (x2 – x1) se tiene que:
(x2 – x1)/( t2 – t1) = n*λ/n*T
Vpropagación = λ/T
Con lo que es posible concluir que la relación que existe entre la periodicidad espacial y temporal es la velocidad de propagación de la onda.
b) Escriba la ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X e identifique el significado de las magnitudes que aparecen en ella. Escriba la ecuación de otra onda que se propague en sentido opuesto y que tenga doble amplitud y frecuencia mitad que la anterior. Razone si las velocidades de propagación de ambas ondas es la misma.
Se aplica la ecuación general de la onda armónica:
Y(x, t) = A*Cos(kx – ωt + φ)
Dónde:
Y es la posición de la partícula y esta depende de x y t.
x es la distancia a la que se encuentra del origen.
k es el número de onda y representa la cantidad de ondas en un periodo.
φ es la fase inicial y representa en qué posición se encuentra la partícula cuando t = 0.
Para una onda que se propaga por el eje negativo de las X, con doble amplitud y mitad de frecuencia tiene una ecuación general como se muestra a continuación:
Y(x, t) = 2*A*Cos(-2kx – ωt + φ)
La velocidad de propagación para una onda que se desplaza en el eje X positivo es:
V = λ/T = λ*f
Si la onda que se propaga hacia el eje X negativo posee la mitad de la frecuencia se tiene que:
V2 =λ*f/2
2*V2 = λ*f
Por lo que la relación entre velocidades de propagación es:
V = 2*V2
La velocidad de propagación de la onda que va hacia el lado positivo es el doble de la velocidad de propagación de la onda que va hacia el lado negativo.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 2015-2016 FÍSICA.