3. Un satélite artificial de 400 kg describe una órbita circular a una altura h sobre la superficie
terrestre. El valor de la gravedad a dicha altura, g, es la tercera parte de su valor en la
superficie de la Tierra, g0.
a) Explique si hay que realizar trabajo para mantener el satélite en esa órbita y calcule el valor
de h.
b) Determine el periodo de la órbita y la energía mecánica del satélite.
g0 = 9,8 m s-2 ; RT = 6370 km
Prueba de Selectividad, Andalucia, Septiembre 2015-2016, FISICA
Respuestas
a) Explique si hay que realizar trabajo para mantener el satélite en esa órbita y calcule el valor de h.
Dado un satélite de masa m que está situado a una distancia ra del centro del planeta, se tiene que su energía potencial es:
Epa = - G*M*m/ra
Ahora se tiene que el mismo satélite se mueve a otro punto de la órbita de modo que rb = ra, entonces la ecuación de su energía potencial es:
Epb = - G*M*m/rb
Si se determina la diferencia entre energía potencial en el punto a y b se tiene que:
Eg = Epb – Epa
Eg = - G*M*m/rb + G*M*m/ra
Como ra = rb = r la expresión queda:
Eg = - G*M*m/r + G*M*m/r = 0
Por lo que la diferencia en la energía potencial gravitatoria es 0.
Por lo que se puede concluir que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para realizar un desplazamiento sobre la misma órbita en el satélite es nulo.
Ahora para la segunda parte de la pregunta, se aplica la ecuación del campo gravitatorio para una altura de R + h:
g = -G*M/(R + h)^2
Dónde:
g es el campo gravitatorio.
G es la constante de gravitación universal.
M es la masa de la tierra.
R es el radio de la tierra.
h es la altura sobre el radio de la tierra.
Si se tiene que el campo gravitatorio es un tercio del de la tierra se tene que:
g = g’/3
-G*M/(R + h)^2 = -G*M/3*R^2
1/(R + h)^2 = 1/3*R^2
h = (√3 - 1)*R
h = (√3 - 1)*(6,4*10^6) = 4,685 * 10^6 m
b) Determine el valor del periodo de la órbita y la energía mecánica del satélite.
Para resolver este problema se aplica la ecuación de la fuerza gravitacional, la cual es:
F = G*M*m/(R + h)^2
Si se aplica la segunda ley de newton se tiene que:
F = m*a
En este caso a es la aceleración centrípeta que está definida como:
a = V^2/(R + h)
Sustituyendo estos valores en la ecuación se tiene que:
G*M*m/(R + h)^2 = m* V^2/(R + h)
V = √G*M/(R + h)
Ahora se tiene que la velocidad es:
V = 2π/T
Sustituyendo:
2π/T = √G*M/(R + h)
T = √4π^2*(R + h)^3/G*M
Como g = G*M/3*(R + h)^2 se tiene que:
T = √3*4π^2*(R + h) / g
T = √12π^2*(R + h)/ g
Sustituyendo los valores se tiene que:
T = 11569 s = 3,21 h
Para la segunda parte del problema se tiene la energía mecánica:
Em = Ec + Eg
Em = m*V^2/2 – G*M*m/(R + h)
Sustituyendo el valor previamente encontrado para V se tiene que:
Em = m*[-G*M/2*(R + h)] - G*M*m/(R + h)
Em = - 3*G*M*m/2*(R + h)
Sustituyendo g = - G*M/3*(R + h)^2
Em = - g*m*(R + h)/2
Sustituyendo los datos:
Em = - 2,21 * 10^10 J
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 2015-2016 FÍSICA.