Question

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

λx + y − z = −1
λx + λz = λ
x + y − λz = 0

a) [1’5 puntos] Discute el sistema seg ́un los valores de λ.

b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 0.


Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2014-2015, Matematicas II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 4 2014-2015, MATEMATICAS II.

 

a)       Al calcular la determinante de la matriz formada por los coeficientes de las funciones e igualándo este a 0 obtenemos:

|A| = $\left[\begin{array}{ccc}\lambda&1&-1\\\lambda&0&\lambda\\1&1&-\lambda\end{array}\right]$ = $\lambda - \lambda + \lambda^2 -\lambda^2 =0$

Para cualquier valor de λ el rango de A es menor a 3.

Seguidamente debemos calcular el determinante de orden 3 usando la matriz ampliada, obteniendo:

|M| = $\left[\begin{array}{ccc}\lambda&1&-1\\\lambda&0&\lambda\\1&1&-\lambda\end{array}\right]$  = $\lambda - \lambda - \lambda^2 = 0$

La discusión del sistema es la siguiente:

Cuando λ=0; R(A)=2 y R(M)=2, el sistema es compatible indeterminado

Cuando λ≠0; R(A)=2 y R(M)=, el sistema es incompatible.

 

b)       Cuando λ= 0 el sistema queda:

$y-z=-1$  ⇒ $y=-1+z$

$x+y=0$ 

resolvemos,

$x=1-z$

$y=-1+z$

$z=z$