Question

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula Z

−x2
x
2 + x − 2dx.


Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2014-2015, Matematicas II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 4 2014-2015, MATEMATICAS II

 

La integral debe calcularse usando fracciones parciales.

 

Primero dividiremos la integral en dos polinomios de la siguiente manera:

$\int\limits { \frac{-x^2}{(x^2+x-2)}} \, dx$ = $\int\limits {-1} \, dx + \int\limits { \frac{x-2}{x^2+x-2} } \, dx$   

=  $-x + \int\limits { \frac{x-2}{x^2+x-2} } \, dx$

Las raíces del denominador son: 

$x^2+x-2=0$  ⇒  $x=1;x=-2$  

Si descomponemos en fracciones simples obtenemos lo siguiente:

$\frac{x-2}{x^2+x-2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$  =  $\frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}$ 

Seguidamente sustituimos los valores de las raíces en los numeradores ya que como los denominadores son iguales, los numeradores también deben serlo y así calculamos A y B.

X=1  ⇒  -1=3A   ⇒  A=-1/3

X=-2   ⇒  -4= -3B  ⇒   B=4/3

Entonces,

$\int\limits { \frac{-x^2}{x^2+x-2} } \, dx =$  $-x+ \int\limits { \frac{x-2}{x^2+x-2} } \, dx$ = $-x+ \int\limits { \frac{-1/3}{(x-1)} } \, dx + \int\limits { \frac{4/3}{(x+2)} } \, dx$

= $-x-1/3.ln |x-1|+4/3.ln |x+2|+C$