Question

Encuentre las dimensiones de una piscina de base cuadrada con una capacidad de 300mt cúbicos de tal forma que el costo del material empleado para el revestimiento de ésta sea el mínimo.

Answer 1

LLama x a la longitud de los lados de la base cuadrada => área = x^2


El volúmen es igual a área de la base por la altura => Volumen = x^2 * altura = 300 m^3

De allí puedes poner la altura en función de x: altura = Volumen / x^2 = 300 / x^2.

La piscina tiene 5 áreas a recubrir:

- la base, con un área igual a x^2

- 4 caras, cada una con un área igual a x * altura = x * 300 / x^2 = 300/x


Por tanto, el área total a revesitir es x^2 + 4 * 300/x = x^2 + 1200 / x


La condición de costo mínimo, implica que el área sea mínima, por tanto debe cumplirse que la derivada del área respecto a x sea cero:

área' = 2x - 1200 / x^2 = 0

=> 2x ^3 = 1200 / x^2

=> x^3 = 600

=> x =  8,43 m

=>  x^2 = 300 m^3 / 8,43 m =  35, 587 m^2

=> x = √ (35,587m^2) = 5,97 m


Respuesta las dimensiones son: base = 5,97 m * 5,97m; altura = 8,43 m