Question

Encontrar el perímetro de media circunferencia descrita por la siguiente ecuación: x^2+y^2=4. La forma paramétrica de la ecuación es: x=2 sen(t) y y= 2cos(t), para 0≤t≤π.

Answer 1

Bueno no es muy complicada...lo primero es recordar...la fórmula de longitud de arco..

$\displaystyle L=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt}$

y ya pues...ya te dan la parametrización básica..solo hay que derivar cada una,

$\displaystyle dx=2\cos(t)dt \\ \frac{dx}{dt}=2\cos(t)\\\\dy=-2\sin(t)dt \\ \frac{dy}{dt}=-2\sin(t)$

entonces, armamos la integral...los límites de integracion, son, 0 y 180 o pi...(verifica) pero po la simetría del eje ye...podemos solo hallar la longitud  en el primer cuadrante y multiplicar por dos, entonces los límites serán desde 0 hasta pi medios..

$\displaystyle L=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2dt}=2\left(2t\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=2\left[\left(2\frac{\pi}{2}\right)-2(0)\right}=2\pi$

y si te das cuenta es el mismo valor que si ubieramos usando la geometría...porque la longitud de una circuenferencia es...

$2\pi r$

pero solo queremos la mitad...entonces será

$\pi r$

como el radio vale 2, entonces se verifica la respuesta¡