Question

Inversa de f(x)=4x-x^2

Answer 1

Para que una función tenga. inversa necesariamente debe ser biyectiva..es decir inyectiva y sobreyectiva...

Vamos a demostrar que la función f(x) tiene inversa...entonces, vamos a demostrar que f(x) es inyectiva...entonces..

Supongamos que $f(x_{1})=f(x_{2})$  entonces  $x_{1}=x_{2}$ si ¿verdad? si dos elementos del recorrido son iguales para dos elementos del dominio..entonces tienen que ser los mismo...entonces..

suponemos que,
 
$f(x_{1})=f(x_{2})\\4x_{1}-x_{1}^{2}=4x_{2}-x_{2}^{2}$

aquí debemos completar el cuadrado...en cada lado..entonces,

$-(x_{1}^{2}-4x_{1})=-(x_{2}^{2}-4x_{2})\\(x_{1}-2)^{2}-4=(x_{2}-2)^{2}-4 \\ (x_{1}-2)^{2}=(x_{2}-2)^{2} \\ \sqrt{(x_{1}-2)^{2}}=\sqrt{(x_{2}-2)^{2}} \\ |x_{1}-2|=|x_{2}-2|\\x_{1}-2=\pm|x_{2}-2|\\x_{1}=\pm|x_{2}-2|+2 \\ \\ x_{1}=+(+(x_{2}-2))+2=x_{2}\\x_{1}=-(+(x_{2}-2))+2\neq-x_{2}+4 \\ x_{1}=+(-(x_{2}-2))+2\neq-x_{2}+4 \\ x_{1}=-(-(x_{2}-2))+2=x_{2}$

aquí se ha desglosado en 4 posibles casos muy importantes...donde son en dos de ellos se cumple efectivaente la inyección..pero otros dos que no...entonces como no se cumple PARA TODOS¡...entonces necesriamente NO ES INYECTIVA....por lo tanto no tiene inversa...

La sobreyctividad...si se cumple, y nos dice que, 

$\forall y\in Recorrido:\exists x\in\Re$

es fácil demostrar que efectivamente si sobre...pero como ya falla la inyectivdad entonces...no tiene inversa...LO que puedes hacer es redefinir la función para un intervalo del dominio donde sea inyectiva...basta que limites el domino por ejemplo, todo la parte positva entonces,

$f:[2,+\infty)\rightarrow[4,-\infty)\\ .\hspace{11.2mm}x\rightarrow f(x)=4x-x^{2}$

como el dominio ya está redefinido...para los númreos positvios..., entonces...ya es inyectiva...(verificalo)...ahora para hallar la inversa..nos valemos del artificio de completar el cuadrado,

$y=4x-x^{2}\equiv-y=x^{2}-4x\\ .\hspace{21mm}-y=(x-2)^{2}-4\\ .\hspace{19mm}4-y=(x-2)^{2}\\ .\hspace{16mm}\sqrt{4-y}=\sqrt{(x-2)^{2}}\\ .\hspace{16mm}\sqrt{4-y}=|x-2|$

pero como el dominio ahora si..sabemos que son PUROS y SOLAMENTE postivosm...entonces el valor absoluto se limite a un solo signo...positivo..entonces

$.\hspace{16mm}\sqrt{4-y}=x-2\\.\hspace{25mm}x=\sqrt{4-y}+2$

y ahora lo que hacemos el cambiar la equis por la ye...y la ye por l equis.entonces,

$y=\sqrt{4-x}+2$

y ahora, para definir la función, hacemos , el dominio se convierte en recorrido y el recorrido en dominio, entonces,


$f^{-1}:[-\infty,4)\rightarrow[2,+\infty)\\ .\hspace{18.2mm}x\rightarrow f(x)=\sqrt{4-x}+2$


y ya tenemos la función inversa¡


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