Question

Ejercicios de calculo ​

Answer 1

Explicación:

Teoría importante:

$a = \frac{ {a}^{n + 1} }{ {a}^{n} }$

$\\ \lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{a}{ {n}^{m} } = 0 \: \: \: \: \: si \: \: \: m \geqslant 0$

$\\ \lim_{n \rightarrow \infty}\: {(a)} \: = \: (a) \: \: \: si \: (a) \: no \: depende \: de \: n$

$\\ \lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{ {n}^{m} }{ {n}^{m + 1} } = 0 \: \: \: si \: \: m \geqslant 0$

a.

$\\ \lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{ {n}^{2} + 4n - 1}{ 3{n}^{2} - 3} \\ \\ = \lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{ \frac{ {n}^{2} }{ {n}^{2} } + \frac{4n}{ {n}^{2} } - \frac{1}{ {n}^{2} } }{ \frac{3 {n}^{2} }{ {n}^{2} } - \frac{3}{ {n}^{2} } } \\ \\ = \lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{1 + \frac{4}{n} - \frac{1}{ {n}^{2} } }{ 3 - \frac{3}{ {n}^{2} } } = \frac{1 + 0 - 0}{3 - 0} = \frac{1}{3}$

b.

$\\ \lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{1 - n}{ 2 - 4n } \\ \\ = \lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{ \frac{1}{n} - \frac{n}{n} }{ \frac{2}{n} - \frac{4n}{n} } \\ \\ = \lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{ \frac{1}{n} - 1}{ \frac{2}{n} - 4 } \\ \\ = \frac{ 0- 1}{0 - 4} = \frac{ - 1}{ - 4} = \frac{1}{4}$

c.

$\\ \lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{5 {n}^{2} - 2 }{ {n}^{2} } \\ \\ \lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{ \frac{5 {n}^{2} }{ {n}^{2} } - \frac{2}{ {n}^{2} } }{ \frac{ {n}^{2} }{ {n}^{2} } } \\ \\ = \lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{5 - \frac{2}{ {n}^{2} } }{ 1 } \\ \\ = \frac{5 - 0}{1} = \frac{5}{1} = 5$