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Respuesta:
Seguramente has estudiado ya las potencias y sabes que, por ejemplo:
\[10^{4}=10000\]
Pero, supongamos que quieres encontrar una potencia a la cual elevar al número 10 y que el resultado sea 10000000. Eso se puede escribir de la siguiente forma:
\[10^{x}=10000000\]
¿Podrías despejar la letra 'x' de dicha ecuación?
La ecuación que escribimos es una ecuación exponencial. Para poder despejar la variable 'x' requerimos utilizar un logaritmo. Un logaritmo es una "operación" o "función" que te devuelve la potencia a la que debes elevar una base dada para obtener un resultado deseado. En nuestro ejemplo, la base es 10 y el resultado deseado es 10000000, por lo que podemos escribir que:
\log_{10}10000000=X
De manera general, podemos expresar la notación logarítmica de la siguiente forma:
\log_{a}X=Y
donde:
a es la base
x es el resultado deseado (también conocido como argumento)
y es la potencia a la que se eleva la base a
A continuación, te mostramos algunos ejemplos de expresiones en notación exponencial y notación logarítmica:
4^{3} = 64 \Rightarrow \log_{4}64 = 3
\displaystyle 5^{-2} = \frac{1}{25} \Rightarrow \displaystyle\log_{5}\frac{1}{25} = -2
\displaystyle 36^{\frac{1}{2}} = 6 \Rightarrow \displaystyle \log_{36}6 = \frac{1}{2}}
Cabe destacar que las bases más utilizadas en los logaritmos son 10 y e(Número de Euler, e = 2,718281828459...)
Explicación paso a paso:
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores
\log(A\cdot B) = \log A + \log B
2 El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor
\displaystyle\log(\frac{A}{B}) = \log A - \log B
3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base
\log A^{n} = n\cdot \log A
4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz
\displaystyle \log\sqrt[n]{A} = \frac{\log A}{n} = \frac{1}{n}\cdot \log A
De las propiedades 3 y 4podemos deducir que:
\displaystyle \log\sqrt[n]{A^{m}} = \frac{m\cdot \log A}{n} = \frac{m}{n}\cdot \log A
5 El logaritmo base 'a' de 'a' es '1'
\log_{a}a = 1
6 El logaritmo de 1 es 0(Sin importar la base del logaritmo)
\log 1=0
Por lo tanto:
\log 10=1
\ln e=1
7 El argumento de un logaritmo siempre debe ser mayor que cero
Para \log X=Y se cumple que X> 0