Question

Funciones de números reales y elementos?

Answer 1

La función real es un término matemático y espero que entiendas esto
Sea
X
X un conjunto cualquiera no vacío y sea
F
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} el conjunto formado por todas las funciones de
X
X en
R
\mathbb R. Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los números reales se pueden extender a
F
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}, como veremos a continuación.

Sean
f
,
g
:
X
→
R
{\displaystyle f,g:X\rightarrow {\mathbb {R} }} elementos de
F
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}. Se definen a continuación operaciones entre esas funciones.

Suma de funciones:
f
+
g
:
x
↦
f
(
x
)
+
g
(
x
)
{\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}
Resta de funciones:
f
−
g
:
x
↦
f
(
x
)
−
g
(
x
)
{\displaystyle f-g:x\mapsto f(x)-g(x)}
Producto de funciones:
f
g
:
x
↦
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}
También, se puede extender a relaciones de igualdad.

f
<
g
{\displaystyle fx
,
f
(
x
)
<
g
(
x
)
{\displaystyle x,f(x)La manera en que se hace la extensión, garantiza que muchas de las propiedades de los números reales se extienden a
F
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}. Se indican a continuación aquellas más importantes.

La suma de funciones es asociativa, conmutativa, y con neutro la función constante
x
↦
0
{\displaystyle x\mapsto 0}, con opuesto aditivo
−
f
:
x
→
−
f
(
x
)
{\displaystyle -f:x\rightarrow -f(x)\,} para cada función
f
f.
La resta es tal que
f
−
g
=
f
+
(
−
g
)
{\displaystyle f-g=f+(-g)}.
La multiplicación es asociativa, conmutativa, y con neutro la función constante
x
↦
1
{\displaystyle x\mapsto 1}, pero solamente las funciones que nunca tiene valor nulo tienen recíprocos.
La multiplicación es distributiva respecto a la suma.
Nótese que todas las propiedades anteriores son análogas a las propiedades de los números reales. Hay, sin embargo, propiedades "extrañas". Por ejemplo, Cuando el conjunto X tiene al menos dos elementos, hay divisores de cero en
F
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}. En efecto, supongamos que
X
=
{
a
,
b
}
{\displaystyle X=\{a,b\}} y definamos
f
,
g
:
X
→
R
{\displaystyle f,g:X\rightarrow {\mathbb {R} }} tales que
f
(
a
)
=
1
,
f
(
b
)
=
0
{\displaystyle f(a)=1,f(b)=0} y
g
(
a
)
=
0
{\displaystyle g(a)=0} y
g
(
b
)
=
1
{\displaystyle g(b)=1}. Se ve, inmediatamente, que el producto
f
g
{\displaystyle fg} es la función constante 0, o sea la función cero, aunque ninguno de los factores lo es.

El conjunto
F
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que se obtienen al seleccionar el conjunto X.

Sea
X
=
{
1
,
2
}
{\displaystyle X=\{1,2\}\,}. Entonces, cada función de
F
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} define una pareja de números
f
(
1
)
,
f
(
2
)
{\displaystyle f(1),f(2)} que si consideramos el orden natural en X, podemos escribir como el para ordenado
(
f
(
1
)
,
f
(
2
)
)
{\displaystyle (f(1),f(2))}. Esto nos dice que, en este caso, podemos identificar
F
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} con el conjunto de todos los pares posibles de números reales, o sea con
R
2
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}.
Sea
X
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle X=\{1,2,3\}\,} Razonado como arriba, podemos identificar a
F
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} con
R
3
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}.
Sea
X
=
{
1
,
2
,
3
,
…
,
n
}
{\displaystyle X=\{1,2,3,\ldots ,n\}} Razonado como arriba, podemos identificar a
F
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} con
R
n
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}.
Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tríos, duplas ordenadas aparece provisto de una suma y multiplicación. La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicación por constantes con la multiplicación por escalar.

Sea
X
=
N
{\displaystyle X={\mathbb {N} }}, el conjunto de los números naturales. En este caso,
F
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} es el conjunto de todas las sucesiones de números reales provisto como la suma y multiplicación usual de sucesiones.

Espero que te sirva

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