Sea R la región comprendida entre los dos círculos x^2+y^2=1 ; x^2+y^2=5Evaluar la integral:∬_R (x^2+y)dAAclaración R va en la parte inferior de la integral doble, pero la pagina no me permite colocarla como tal. El tema es coordenadas polares en integrales dobles
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2
Bien, lo que necesitas es, evaluar la integral Con la región R...usando integrales polares...bien, entonces,
COmo sabrás que
, entonces la región R viene dado como los puntos de la forma
, de donde si te recuerdas..esas son circunferencias la primera tiene radio 1...y la segunda tienes radio??..raíz de 5...¿verdad?...elevado al cuadrado tenemos el 5...entonces podemos reducir que,
![1\leq r\leq\sqrt{5} 1\leq r\leq\sqrt{5}](https://tex.z-dn.net/?f=1%5Cleq+r%5Cleq%5Csqrt%7B5%7D)
el radio está entre ese interavlo. y por supuesto
es más que obvio...ahora debemos hallar el jacobiano...si recuerdas ¿verdad?...entonces,
Sean los parámetros
, su jacobiano será,
![\displaystyle\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial \theta}\\\\\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos(\theta)&-r\sin(\theta)\\\sin(\theta)&r\cos(\theta)\end{array}\right|=r\cos^{2}(\theta)-(-r\sin^{2}(\theta)) \\ \\ ...=r(\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta))=r(1)=r \displaystyle\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial \theta}\\\\\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos(\theta)&-r\sin(\theta)\\\sin(\theta)&r\cos(\theta)\end{array}\right|=r\cos^{2}(\theta)-(-r\sin^{2}(\theta)) \\ \\ ...=r(\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta))=r(1)=r](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B%5Cpartial%28x%2Cy%29%7D%7B%5Cpartial%28r%2C%5Ctheta%29%7D%3D%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+r%7D%26amp%3B%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Ctheta%7D%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+r%7D%26amp%3B%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+%5Ctheta%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Ccos%28%5Ctheta%29%26amp%3B-r%5Csin%28%5Ctheta%29%5C%5C%5Csin%28%5Ctheta%29%26amp%3Br%5Ccos%28%5Ctheta%29%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%3Dr%5Ccos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29-%28-r%5Csin%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%29+%5C%5C++%5C%5C+...%3Dr%28%5Ccos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%2B%5Csin%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%29%3Dr%281%29%3Dr)
entonces el jacobiano será "r" , bien, entonces ya podemos armar la integral..usando el Teorema de Fubbini...entonces,
![\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{5}}{(x^{2}+y)}dA=\int\limits_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{5}}{[(r\cos(\theta))^{2}+r\sin(\theta)]}\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}dA=...\\\\...=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{5}}{[(r\cos(\theta))^{2}+r\sin(\theta)]}r}drd\theta \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{5}}{(x^{2}+y)}dA=\int\limits_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{5}}{[(r\cos(\theta))^{2}+r\sin(\theta)]}\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}dA=...\\\\...=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{5}}{[(r\cos(\theta))^{2}+r\sin(\theta)]}r}drd\theta](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B%28x%5E%7B2%7D%2By%29%7DdA%3D%5Cint%5Climits_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B%5B%28r%5Ccos%28%5Ctheta%29%29%5E%7B2%7D%2Br%5Csin%28%5Ctheta%29%5D%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%28x%2Cy%29%7D%7B%5Cpartial%28r%2C%5Ctheta%29%7DdA%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B%5B%28r%5Ccos%28%5Ctheta%29%29%5E%7B2%7D%2Br%5Csin%28%5Ctheta%29%5D%7Dr%7Ddrd%5Ctheta)
primero evaluemos la integral de adetro,
![\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{5}}{[(r\cos(\theta))^{2}+r\sin(\theta)]}r}dr=\int_{1}^{\sqrt{5}}{r^{3}\cos^{2}(\theta)+r^{2}\sin(\theta)}}dr=...\\\\...=\left(\frac{r^{4}}{4}\cos^{2}(\theta)+\frac{r^{3}}{3}\sin(\theta)\right|_{1}^{\sqrt{5}}=...\\\\...=\left(\frac{(\sqrt{5})^{4}}{4}\cos^{2}(\theta)+\frac{(\sqrt{5})^{3}}{3}\sin(\theta)\right)-\left(\frac{(1)^{4}}{4}\cos^{2}(\theta)+\frac{(1)^{3}}{3}\sin(\theta)\right)= \displaystyle\int_{1}^{\sqrt{5}}{[(r\cos(\theta))^{2}+r\sin(\theta)]}r}dr=\int_{1}^{\sqrt{5}}{r^{3}\cos^{2}(\theta)+r^{2}\sin(\theta)}}dr=...\\\\...=\left(\frac{r^{4}}{4}\cos^{2}(\theta)+\frac{r^{3}}{3}\sin(\theta)\right|_{1}^{\sqrt{5}}=...\\\\...=\left(\frac{(\sqrt{5})^{4}}{4}\cos^{2}(\theta)+\frac{(\sqrt{5})^{3}}{3}\sin(\theta)\right)-\left(\frac{(1)^{4}}{4}\cos^{2}(\theta)+\frac{(1)^{3}}{3}\sin(\theta)\right)=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B%5B%28r%5Ccos%28%5Ctheta%29%29%5E%7B2%7D%2Br%5Csin%28%5Ctheta%29%5D%7Dr%7Ddr%3D%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7Br%5E%7B3%7D%5Ccos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%2Br%5E%7B2%7D%5Csin%28%5Ctheta%29%7D%7Ddr%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D%5Cleft%28%5Cfrac%7Br%5E%7B4%7D%7D%7B4%7D%5Ccos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%2B%5Cfrac%7Br%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%5Csin%28%5Ctheta%29%5Cright%7C_%7B1%7D%5E%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D%5Cleft%28%5Cfrac%7B%28%5Csqrt%7B5%7D%29%5E%7B4%7D%7D%7B4%7D%5Ccos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%2B%5Cfrac%7B%28%5Csqrt%7B5%7D%29%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%5Csin%28%5Ctheta%29%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cfrac%7B%281%29%5E%7B4%7D%7D%7B4%7D%5Ccos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%2B%5Cfrac%7B%281%29%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%5Csin%28%5Ctheta%29%5Cright%29%3D)
ahora, agrupemos términos semejantes, entonces,
![...=\displaystyle\left(\frac{25\cos^{2}(\theta)-\cos^{2}(\theta)}{4}\right)-\left(\frac{5^{\frac{3}{2}}\sin(\theta)-\sin(\theta)}{3}\right)=...\\\\...=6\cos^{2}(\theta)-\sin(\theta)\left(\frac{5^{\frac{3}{2}-1}}{3}\right)=6\left(\frac{cos(2x)+1}{2}\right)-\sin(\theta)\left(\frac{5^{\frac{3}{2}-1}}{3}\right) ...=\displaystyle\left(\frac{25\cos^{2}(\theta)-\cos^{2}(\theta)}{4}\right)-\left(\frac{5^{\frac{3}{2}}\sin(\theta)-\sin(\theta)}{3}\right)=...\\\\...=6\cos^{2}(\theta)-\sin(\theta)\left(\frac{5^{\frac{3}{2}-1}}{3}\right)=6\left(\frac{cos(2x)+1}{2}\right)-\sin(\theta)\left(\frac{5^{\frac{3}{2}-1}}{3}\right)](https://tex.z-dn.net/?f=...%3D%5Cdisplaystyle%5Cleft%28%5Cfrac%7B25%5Ccos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29-%5Ccos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%7D%7B4%7D%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cfrac%7B5%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%5Csin%28%5Ctheta%29-%5Csin%28%5Ctheta%29%7D%7B3%7D%5Cright%29%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D6%5Ccos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29-%5Csin%28%5Ctheta%29%5Cleft%28%5Cfrac%7B5%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D-1%7D%7D%7B3%7D%5Cright%29%3D6%5Cleft%28%5Cfrac%7Bcos%282x%29%2B1%7D%7B2%7D%5Cright%29-%5Csin%28%5Ctheta%29%5Cleft%28%5Cfrac%7B5%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D-1%7D%7D%7B3%7D%5Cright%29)
y ahora hallar la siguient eintegra,
![\displaystyle\int_{0}^{2\pi}{6\left(\frac{cos(2x)+1}{2}\right)-\sin(\theta)\left(\frac{5^{\frac{3}{2}-1}}{3}\right)}d\theta \displaystyle\int_{0}^{2\pi}{6\left(\frac{cos(2x)+1}{2}\right)-\sin(\theta)\left(\frac{5^{\frac{3}{2}-1}}{3}\right)}d\theta](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%7B6%5Cleft%28%5Cfrac%7Bcos%282x%29%2B1%7D%7B2%7D%5Cright%29-%5Csin%28%5Ctheta%29%5Cleft%28%5Cfrac%7B5%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D-1%7D%7D%7B3%7D%5Cright%29%7Dd%5Ctheta)
y esa te sugiero que la termines...
COmo sabrás que
el radio está entre ese interavlo. y por supuesto
Sean los parámetros
entonces el jacobiano será "r" , bien, entonces ya podemos armar la integral..usando el Teorema de Fubbini...entonces,
primero evaluemos la integral de adetro,
ahora, agrupemos términos semejantes, entonces,
y ahora hallar la siguient eintegra,
y esa te sugiero que la termines...
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