Question

Sea R la región comprendida entre los dos círculos x^2+y^2=1 ; x^2+y^2=5Evaluar la integral:∬_R (x^2+y)dAAclaración R va en la parte inferior de la integral doble, pero la pagina no me permite colocarla como tal. El tema es coordenadas polares en integrales dobles

Answer 1

Bien, lo que necesitas es, evaluar la integral Con la región R...usando integrales polares...bien, entonces,

COmo sabrás que   $x=r\cos(\theta)\hspace{5mm}y=r\sin(\theta)$, entonces la región R viene dado como los puntos de la forma $(r,\theta)$ , de donde si te recuerdas..esas son circunferencias la primera tiene radio 1...y la segunda tienes radio??..raíz de 5...¿verdad?...elevado al cuadrado tenemos el 5...entonces podemos reducir que,

$1\leq r\leq\sqrt{5}$

el radio está entre ese interavlo. y por supuesto$0\leq\theta\leq 2\pi$ es más que obvio...ahora debemos hallar el jacobiano...si recuerdas ¿verdad?...entonces,

Sean los parámetros  $x=r\cos(\theta)\hspace{5mm}y=r\sin(\theta)$, su jacobiano será,

$\displaystyle\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial \theta}\\\\\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos(\theta)&-r\sin(\theta)\\\sin(\theta)&r\cos(\theta)\end{array}\right|=r\cos^{2}(\theta)-(-r\sin^{2}(\theta)) \\ \\ ...=r(\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta))=r(1)=r$

entonces el jacobiano será "r" , bien, entonces ya podemos armar la integral..usando el Teorema de Fubbini...entonces,

$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{5}}{(x^{2}+y)}dA=\int\limits_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{5}}{[(r\cos(\theta))^{2}+r\sin(\theta)]}\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}dA=...\\\\...=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{5}}{[(r\cos(\theta))^{2}+r\sin(\theta)]}r}drd\theta$

primero evaluemos la integral de adetro,

$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{5}}{[(r\cos(\theta))^{2}+r\sin(\theta)]}r}dr=\int_{1}^{\sqrt{5}}{r^{3}\cos^{2}(\theta)+r^{2}\sin(\theta)}}dr=...\\\\...=\left(\frac{r^{4}}{4}\cos^{2}(\theta)+\frac{r^{3}}{3}\sin(\theta)\right|_{1}^{\sqrt{5}}=...\\\\...=\left(\frac{(\sqrt{5})^{4}}{4}\cos^{2}(\theta)+\frac{(\sqrt{5})^{3}}{3}\sin(\theta)\right)-\left(\frac{(1)^{4}}{4}\cos^{2}(\theta)+\frac{(1)^{3}}{3}\sin(\theta)\right)=$

ahora, agrupemos términos semejantes, entonces,

$...=\displaystyle\left(\frac{25\cos^{2}(\theta)-\cos^{2}(\theta)}{4}\right)-\left(\frac{5^{\frac{3}{2}}\sin(\theta)-\sin(\theta)}{3}\right)=...\\\\...=6\cos^{2}(\theta)-\sin(\theta)\left(\frac{5^{\frac{3}{2}-1}}{3}\right)=6\left(\frac{cos(2x)+1}{2}\right)-\sin(\theta)\left(\frac{5^{\frac{3}{2}-1}}{3}\right)$

y ahora hallar la siguient eintegra,

$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}{6\left(\frac{cos(2x)+1}{2}\right)-\sin(\theta)\left(\frac{5^{\frac{3}{2}-1}}{3}\right)}d\theta$

y esa te sugiero que la termines...