Question

4. Hallar la longitud de la curva cos⁡x=e^y , para x entre π/6 y π/3 .Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución, momentos o centros de masa.

Answer 1

Bueno solo debes aprenderte la fórmula y ya,

$L=\displaystyle\int_{a}^{b}{\sqrt{1+(f'(x))^{2}}}dx$

entonces vamos a derivar,

$\cos(x)=e^{y}\\-\sin(x)dx=e^{y}dy \\ \displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{sin(x)}{e^{y}}=-\frac{sin(x)}{cos(x)}=-\tan(x)$

entonces,

$L=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\sqrt{1+\tan^{2}(x)}dx=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\sqrt{\sec^{2}(x)}dx=$

aquí, esot representa un valor absoluto, pero la zona de integración es el primer cuadrante...y como sabemos la secante..es positiva siempre en el primer cuadrante..entonces, podemos deshacernos del valorabsoluto sin problemas...

$...=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\sqrt{\sec^{2}(x)}dx=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\sec(x)}dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$

esa es una integral inmediata..así que apréndentela...ahora,


$...=\displaystyle\ln\left|\sec\left(\frac{\pi}{3}\right)+\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\right|-\ln\left|\sec\left(\frac{\pi}{6}\right)+\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)\right|=...\\\\...=\ln\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{\ln(3)}{2}\approx0,76765...$

y eso sería todo...espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas