4. Hallar la longitud de la curva cosx=e^y , para x entre π/6 y π/3 .Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución, momentos o centros de masa.
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Bueno solo debes aprenderte la fórmula y ya,
![L=\displaystyle\int_{a}^{b}{\sqrt{1+(f'(x))^{2}}}dx L=\displaystyle\int_{a}^{b}{\sqrt{1+(f'(x))^{2}}}dx](https://tex.z-dn.net/?f=L%3D%5Cdisplaystyle%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%7B%5Csqrt%7B1%2B%28f%27%28x%29%29%5E%7B2%7D%7D%7Ddx)
entonces vamos a derivar,
![\cos(x)=e^{y}\\-\sin(x)dx=e^{y}dy \\ \displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{sin(x)}{e^{y}}=-\frac{sin(x)}{cos(x)}=-\tan(x) \cos(x)=e^{y}\\-\sin(x)dx=e^{y}dy \\ \displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{sin(x)}{e^{y}}=-\frac{sin(x)}{cos(x)}=-\tan(x)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccos%28x%29%3De%5E%7By%7D%5C%5C-%5Csin%28x%29dx%3De%5E%7By%7Ddy+%5C%5C+%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Cfrac%7Bsin%28x%29%7D%7Be%5E%7By%7D%7D%3D-%5Cfrac%7Bsin%28x%29%7D%7Bcos%28x%29%7D%3D-%5Ctan%28x%29)
entonces,
![L=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\sqrt{1+\tan^{2}(x)}dx=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\sqrt{\sec^{2}(x)}dx= L=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\sqrt{1+\tan^{2}(x)}dx=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\sqrt{\sec^{2}(x)}dx=](https://tex.z-dn.net/?f=L%3D%5Cdisplaystyle%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1%2B%5Ctan%5E%7B2%7D%28x%29%7Ddx%3D%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Csec%5E%7B2%7D%28x%29%7Ddx%3D)
aquí, esot representa un valor absoluto, pero la zona de integración es el primer cuadrante...y como sabemos la secante..es positiva siempre en el primer cuadrante..entonces, podemos deshacernos del valorabsoluto sin problemas...
![...=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\sqrt{\sec^{2}(x)}dx=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\sec(x)}dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} ...=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\sqrt{\sec^{2}(x)}dx=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\sec(x)}dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}](https://tex.z-dn.net/?f=...%3D%5Cdisplaystyle%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Csec%5E%7B2%7D%28x%29%7Ddx%3D%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%7D%7B%5Csec%28x%29%7Ddx%3D%5Cln%5Cleft%7C%5Csec%28x%29%2B%5Ctan%28x%29%5Cright%7C_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%7D)
esa es una integral inmediata..así que apréndentela...ahora,
![...=\displaystyle\ln\left|\sec\left(\frac{\pi}{3}\right)+\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\right|-\ln\left|\sec\left(\frac{\pi}{6}\right)+\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)\right|=...\\\\...=\ln\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{\ln(3)}{2}\approx0,76765... ...=\displaystyle\ln\left|\sec\left(\frac{\pi}{3}\right)+\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\right|-\ln\left|\sec\left(\frac{\pi}{6}\right)+\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)\right|=...\\\\...=\ln\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{\ln(3)}{2}\approx0,76765...](https://tex.z-dn.net/?f=...%3D%5Cdisplaystyle%5Cln%5Cleft%7C%5Csec%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cright%29%2B%5Ctan%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cright%29%5Cright%7C-%5Cln%5Cleft%7C%5Csec%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%5Cright%29%2B%5Ctan%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%5Cright%29%5Cright%7C%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D%5Cln%5Cleft%282%2B%5Csqrt%7B3%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7B%5Cln%283%29%7D%7B2%7D%5Capprox0%2C76765...)
y eso sería todo...espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas
entonces vamos a derivar,
entonces,
aquí, esot representa un valor absoluto, pero la zona de integración es el primer cuadrante...y como sabemos la secante..es positiva siempre en el primer cuadrante..entonces, podemos deshacernos del valorabsoluto sin problemas...
esa es una integral inmediata..así que apréndentela...ahora,
y eso sería todo...espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas
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