Question

Me podrían ayudar con la demostración?
o por lo menos una guía

Answer 1

Bueno, si quieres una demostración media decente...deberías demostrar algunas identidades extras...para justificar cada paso.. de igual manera que para la identidades trignométricas habituales...para demostrar que,

 $\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1$

donde claramente...sabemos que ésta fórmula se produce del teorema de pitágoras...aplicada a una circunferencia de radio 1...donde la coordenada en equis en cualquier punto en especial el primer cuadrante está dado por cos(x) y lla coordenada en el eje ye, es sin(x), entonces por el teorema de pitágoras fácilmente deduces esa identidad...ahora para las  hiperbólicas hacemos casi lo mismo, pero ahora vamos a suponer una HIPÉRBOLA RECTANGULAR O EQUILÁTERA...te recomiendo que busques en la geometría de calvache...de donde sabemos que, su fórmula será,

 $x^{2}-y^{2}=1$

lo siguiente que también te recomiendo aprendas a demostrar..entonces vamos a dar por sentado que,

$\displaystyle \cosh(x)=\frac{e^{\alpha}+e^{-\alpha}}{2}\hspace{6mm}\sinh(x)=\frac{e^{\alpha}-e^{-\alpha}}{2}$

éstas nacen, de las asíntotas que presenta la hipérbola dada por

$\displaystyle y=\frac{e^{\alpha}}{2}\hspace{5mm}y=\frac{e^{-\alpha}}{2}$

de donde se deduce de igual manera que,

$x=\cosh(\alpha)\\ y=\sinh(\alpha)$

ahora, te dejo de tarea que demuestres que, 

$\cosh(\alpha)+\sinh(\alpha)=e^{\alpha}\\\cosh(\alpha)-\sinh(\alpha)=e^{-\alpha}$

usando ésta información que sabes...de aquí ya podemos demostrar si multiplicamos la primera de éstas ecuaciones por la segunda así,

$\cosh(\alpha)+\sinh(\alpha)=e^{\alpha}\\(\cosh(\alpha)-\sinh(\alpha))[\cosh(\alpha)+\sinh(\alpha)]=e^{-\alpha}e^{\alpha}\\\cosh^{2}(\alpha)-\sin^{2}(\alpha)=e^{0}=1$

y eso es lo que queríamos demostrar... ahora si podemos usarla con todo el derecho, plenitud y felicidad...

Ahora vamos a demostrar una muy importante, propiedad...que es la suma de ángulos para el coseno hiperbólico...es fácil....por ejemplo, sabemos que,

 $\displaystyle\cosh(\alpha)=\frac{e^{\alpha}+e^{-\alpha}}{2}$

vamos a suponer que, $\alpha=\beta+\beta=2\beta$ que es el ángulo que nos interesa saber, entonces,

$\displaystyle\cosh(2\beta)=\frac{e^{2\beta}+e^{-2\beta}}{2}=\frac{e^{\beta+\beta}+e^{-(\beta+\beta)}}{2}=\frac{e^{\beta}e^{\beta}+e^{-\beta}e^{-\beta}}{2}$

de aquí sabemos que,

$\displaystyle e^{\beta}=\cosh(\beta)+\sinh(\beta) \\e^{-\beta}=\cosh(\beta)-\sinh(\beta)$

la segunda de éstas dos igualdades...es fácil de demostrar, puesto que la función seno es impar, entonces seno hiperbolico tamibén es impar por lo tanto ,  $f(-x)=-f(x)$, y como el coseno es una función par, entonces el coseno hiperbolico tambien lo es, entonces $f(-x)=f(x)$, entonces,

 $\displaystyle\sinh(-\beta)=\frac{e^{(-\beta)}-e^{-(-\beta)}}{2}=\frac{e^{(-\beta)}-e^{\beta}}{2}=-\frac{e^{\beta}-e^{-\beta}}{2}=-\sinh(\beta)$

bueno, sigamos en lo que estábamos,
 
 $\cosh(2\beta)=\frac{e^{\beta}e^{\beta}+e^{-\beta}e^{-\beta}}{2}=\\\frac{(\cosh(\beta)+\sinh(\beta))(\cosh(\beta)+\sinh(\beta))+(\cosh(\beta)-\sinh(\beta))e^{-\beta}}{2}=\\...=\frac{(\cosh(\beta)+\sinh(\beta))^{2}+(\cosh(\beta)-\sinh(\beta))^{2}}{2}=...\\...=\frac{cosh^{2}(\beta)+2\cosh(\beta)\sinh(\beta)+\sinh^{2}(\beta)+\cosh^{2}(\beta)-2\cosh(\beta)\sinh(\beta)+\sinh^{2}(\beta)}{2}=...\\...=\frac{2\cosh^{2}(\beta)+2\sinh^{2}(\beta)}{2}=\frac{2(\cosh^{2}+\sinh^{2}(x))}{2}=\cosh^{2}(\beta)+\sinh^{2}(\beta)$

disculpa que la letra se reduzca..pero no entraba todo en la letra más grande...bien, ahora si con las dos demostraciones que hemos hecho podemos jugar ...con ellas...por ejemplo...

$\displaystyle\cos(2\beta)=\cosh^{2}(\beta)+\sinh^{2}(\beta) \\ \cos(2\beta)=\cosh^{2}(\beta)+(\cosh^{2}(\beta)-1) \\ \cos(2\beta)=2\cosh^{2}(\beta)-1 \\ 2\cosh^{2}(\beta)=\frac{}{}\cosh(2\beta)+1\\\\\cosh^{2}(\beta)=\frac{\cosh(2\beta)+1}{2}=\frac{1+\cosh(2\beta)}{2}_{\blacksquare}$

listo. ya demostrada las identidades anteriores...podemos usarlas con todo gusto...sin que nos recriminen de donde rayos te inventaste eso¡...no es una demostración muy formal...pero por el momento te servirá...y funciona para ,

$\displaystyle\cosh^{2}(\beta)=\frac{1+\cosh(2\beta)}{2}\hspace{6mm}\forall\beta/\beta\in\Re$

y eso sería todo...

tenía éste PDF medio simpático de mi colegio, con el cual están las demostraciones poco formales de algunas identidades...pero contiene el manejo apropiado de las funciones y las razones trignométricas..que es lo más importante..te lo dejaré abajito

Espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas

1d6441660960c9124d7b30e0d3e959f2.pdf