Question

Determine los valores de la constante k de manera que el siguiente sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones. 9kx - 6y = 0 27x + (k - 9)y = 0

Answer 1

Podríamos usar el método de Gauus, para eso debemos aplicar la forma matricial del sistema de ecuaciones,

$\displaystyle \left \{ {{9kx-6y=0} \atop {27x+(k-9)y=0}} \right. \equiv \left[A\right]\left[x\right]=\left[b\right]\\\\\\ \left[\begin{array}{cc}9k&-6\\27&k-9\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]$

tenemos la matriz de coeficiente multiplicada por la matriz de variables igualda a la matriz de término independiente...bien, ahora pasamos a la matriz aumentada, de la forma

$\displaystyle\left[A|b\right]=\left[\begin{array}{cc}9k&-6\\27&k-9\end{array}\right| \left.\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]$

por conveniencia supongamos que k es distinto  de cero, entonces vamos a hacer operaciones entre filas para hacer cero bajo el primer término de la primera columna primera fila, entonces, hacemos

$F_{2}-\displaystyle\frac{3}{k}F_{1}$

$...=\displaystyle\left[\begin{array}{cc}9k&-6\\27-\frac{3}{k}(9k)&(k-9)-\frac{3}{k}(-6)\end{array}\right| \left.\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}9k&-6\\0&\frac{k^{2}-9k+18}{k}\end{array}\right| \left.\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]$

de aquí solo hay que razonar un poco...dos o más rectas si quiero que sumplan un sistema de ecuaciones, y quiero que tengan infitnas soluciones entonces...tienen que ser rectas MULTIPLAS...y por lo tanto las mismas¡¡...entonces...la idea sería que la segunda ecuaciones se haga totalmente cero....entonces

$\displaystyle\frac{k^{2}-9k+18}{k}=0 \\ Como:k\neq0 \\ (k-6)(k-3)=0\\k-6=0\hspace{5mm}\rightarrow k=6 \\ Ademas:\\k-3=0\hspace{5mm}\rightarrow k=3$

entonces comproblemos,

$k=6\displaystyle:\left \{ {{9(6)x-6y=0} \atop {27x+(6-9)y=0}} \right.=\left \{ {{54x-6y=0} \atop {27x-3y=0}} \right. =\left \{ {{2(27x-3y=0)} \atop {27x-3y=0}} \right. \\\\\\k=3\displaystyle:\left \{ {{9(3)x-6y=0} \atop {27x+(3-9)y=0}} \right.=\left \{ {{27x-6y=0} \atop {27x-6y=0}} \right.$

para el primera caso, fijate que la primera ecuacion es multipla de la segunda ..es el doble...pero a la final son las mismas...y para el segunda caso...es obvio...

y entonces esos sería los dos posibles valores..