Question

Hallar la distancia del punto (4,−1,5) al plano {(1,−3,1)+(2,1,−2)+(1,3,4)}.

Answer 1

Respuesta:

aca de dejo la respuesta amigo

salu2

Answer 2

La distancia que hay entre el punto (4, -1, 5) y el plano que contiene a los puntos {(1,−3,1)+(2,1,−2)+(1,3,4)} es:

4.09

¿Qué es un plano?

Un plano se caracteriza por tener dos dimensiones y contener infinitos puntos y rectas.

La ecuación de un plano:  

π: N[(x, y, z) - (a, b, c)] = 0

Siendo;

• N: normal del plano
• (x, y, z) - (a, b, c): vector genérico

⇒ Ecuación general del plano π: Ax + By + Cz + D = 0

¿Qué es un vector?

Es un segmento de recta que tiene las siguientes características por tener módulo, dirección y sentido. Se obtiene de la diferencia de dos puntos o por el producto de su módulo y ángulo.

V = P₂ - P₁

o

V = |V| Cos(α)

¿Cuál es la distancia del punto (4,−1,5) al plano {(1,−3,1)+(2,1,−2)+(1,3,4)}?

La normal del plano es el producto vectorial de los vectores PS y PT pertenecientes al plano.

u × v= N

Siendo;

u = (2-1; 1+3; -2-1)

u = (1, 4, -3)

v = (1-1; 3+3; 4-1)

v = (0, 6, 3)

Sustituir;

$u x v=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&4&-3\\0&6&3\end{array}\right]$

u × v = i(12+18) - j(3-0) + k(6-0)

N = (30, -3, 6)

PS = (x-1; y+3; z-1)

Sustituir N y PQ ;

π: (30, -3, 6)(x-1; y+3; z-1) = 0

π: 30(x - 1) - 3(y + 3) + 6(z - 1) = 0

π: 30x - 30 - 3y + 9 + 6z - 6 = 0

π: 30x - 3y + 6z - 27 = 0

Dividir entre 3;

π: 10x - y + 2z - 9 = 0

La distancia entre un punto y un plano se obtiene mediante la siguiente fórmula:

$d(P,\pi )=|\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^{2} +B^{2} +C^{2}} } |$

Sustituir;

$d(P,\pi )=|\frac{10(4)-(-1)+2(5)-9}{\sqrt{10^{2} +(-1)^{2} +2^{2}} } |\\\\d(P,\pi )=\frac{42 }{\sqrt{105} }$

d(P, π) = 4.09

Puedes ver más sobre la ecuación de un plano y la distancia entre un punto y un plano aquí:

https://brainly.lat/tarea/62358574

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