Un triángulo equilátero se encuentra inscrito en un círculo de radio "2r. Determine la
longitud "n" del segmento de recta que partiendo del centro del círculo termina
perpendicular a uno cualquiera de los lados del triángulo.
Respuestas
La longitud "n" del segmento de recta que partiendo del centro del círculo de radio igual a 2r termina perpendicular a uno cualquiera de los lados del triángulo es n = r.
Explicación paso a paso:
De la figura anexa podemos construir triángulos rectángulos con el apotema (n), el radio del círculo (2r) y el lado (l) del triángulo equilátero inscrito.
De esos triángulos y por el Teorema de Pitágoras, se obtiene un sistema de ecuaciones:
Del triángulo amarillo
(2r)² = (l/2)² + (n)² ⇒ 4r² - n² = l²/4 ⇒ 16r² - 4n² = l²
Del triángulo azul
(l)² = (l/2)² + (n + 2r)² ⇒ 3l²/4 = (n + 2r)² ⇒ 4(n + 2r)²/3 = l²
Resolvemos por el método de igualación:
16r² - 4n² = 4(n + 2r)²/3 ⇒ 48r² - 12n² = 4n² + 16rn + 16r² ⇒
Obtenemos una ecuación de segundo grado y factorizamos aplicando la técnica de binomios con términos semejantes
16n² + 16rn - 32r² = 0 ⇒ n² + rn - 2r² = 0 ⇒ (n + 2r)(n - r) = 0
De aquí que n = -2r n = r
Seleccionamos el valor positivo, ya que n es una distancia
La longitud "n" del segmento de recta que partiendo del centro del círculo de radio igual a 2r termina perpendicular a uno cualquiera de los lados del triángulo es n = r.
