Question

Ejercicio 3.- Considera la matriz A =

k 1 + k
1 − k 0

Determina, si existen, los valores de k en cada uno de los casos siguientes:

a) [0’75 puntos] rango(A) = 1.

b) [0’75 puntos] A2 = A.

c) [0’5 puntos] A tiene inversa.

d) [0’5 puntos] det(A) = −2.


Prueba de Selectividad, Andalucia, Reserva B 2015-2016, Matematicas II

Answer 1

a) Rango (A) = 1.

 

Se calcula el determinante de A.

 

|  k   1+k|

|1-k    0 |

 

Det(A) = 0 – (1+k)(1-k) = k^2 – 1

 

Det(A) = k^2 – 1 = 0

 

k = ±1

 

El rango de A será 1 si k = ±1.

 

b) A^2 = A

 

A^2 = A

 

A*A = A

 

(  k   1+k) * (  k   1+k) = (  k   1+k)

(1-k    0 )     (1-k    0 )     (1-k    0 )

 

(    1        k + k^2) = (  k   1+k)

(k – k^2    1-k^2)    (1-k    0 )

 

El sistema de ecuaciones es:

 

k = 1

 

k + k^2 = 1 + k => k = ±1

 

k – k^2 = 1 – k => 1

 

1 – k^2 = 0 => k = ±1

 

Finalmente se cumple que A^2 = A cuando k = 1.

 

c) A tiene inversa.

 

Para que A tenga inversa, el Det(A) ≠ 0.

 

|  k   1+k|

|1-k    0 |

 

Det(A) = 0 – (1+k)(1-k) = k^2 – 1

 

Det(A) = k^2 – 1 ≠ 0

 

k ≠ ±1

 

A tiene matriz inversa para todos los valores de k excepto k = ±1.

 

d) Det(a) = -2.

 

|  k   1+k|

|1-k    0 |

 

Det(A) = 0 – (1+k)(1-k) = k^2 – 1

 

Det(A) = k^2 – 1 = -2

 

Det(A) = k^2 + 1 = 0

 

No existe ningún valor de k que haga que el determinante de A sea igual a -2.

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA RESERVA B 2015-2016 MATEMÁTICAS II.