Question

a un cilindro de madera de 3cm de altura y 13cm de radio se le ha quitado en su centro, otro cilindro para obtener una rueda.¿ cuál es el radio del interior de la rueda si su volumen es de 1356,48cm?ayuda

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Answer 1

Sabemos que las dimensiones del cilindro de madera son $3cm$ de altura y $13cm$ de radio, y también conocemos el volumen de todo el cilindro luego de quitarle otro cilindro es $1356.48cm^{3}$.

Comencemos buscando el volumen total del cilindro de madera utilizando la fórmula de volumen de un cuerpo cilíndrico:

  $V_t=pi*h*r^{2}\\V_t=pi*3cm*(13cm)^{2}\\V_t=pi*39cm^{3}\\V_t=1592.78cm^{3}$

Ahora que conocemos el volumen total del cilindro, tendremos que tener en cuenta el volumen total del cilindro sin el cilindro interior:  

  $V_t_-_i_n_t=1356.48cm^{3}$  

Teniendo el volumen total y el volumen total luego de quitarle el cilindro interno ($V_t\:\:y\:\:V_t_-_i_n_t$), restamos ambos para encontrar el volumen del cilindro interior:

  $V_i = V_t-V_t_-_i_n_t\\V_i = 1592.78cm^{3}-1356.48cm^{3}\\ V_i = 236.3cm^{3}$

Ahora, conociendo el volumen del cilindro interior y conociendo que la altura del cilindro interno será la misma que la del cilindro total utilizamos la fórmula de volumen de un cuerpo cilíndrico para despejar radio:

  $V_i=pi*h*r^{2}\\r^{2}=\frac{(V_i)}{(pi*h)} \\r = \sqrt{\frac{(V_i)}{(pi*h)} }$

**Nota 1: Determinamos que la altura del cilindro total es la misma que la del cilindro interno ya que si se trata de una rueda debemos quitarle un cilindro con la misma altura.

Reemplazamos valores, despejamos el valor del radio:

  $r = \sqrt{\frac{(V_i)}{(pi*h)} }\\r = \sqrt{\frac{236.3cm^{3}}{(pi*3cm)}}\\r=5.0cm$

∴ El radio interior de la rueda será de $5.0cm$ conociendo que el volumen de la rueda es de $1356.48cm^{3}$.

**Nota 2: Para verificar podremos reemplazar los valores obtenidos en la fórmula de volumen del cilindro interno:

  $V_i=pi*h*r^{2}$

Reemplazamos:

  $V_i=pi*h*r^{2}\\236.3cm^{3}=pi*3cm*(5cm)^{2}\\236.3cm^{3}=235.62cm^{3}$

**Nota 3: Si sumamos el volumen del cilindro interno ($V_i$) con el volumen de la rueda que nos ofrecieron ($V_t_-_i_n_t$) llegaremos al volumen total ($V_t$):

  $V_t=V_i+V_t_-_i_n_t\\1592.78cm^{3}= 235.62cm^{3}+1356.48cm^{3}\\1592.78cm^{3}=1592.1^{3}$

**Estos resultados son una aproximación. El error (o la diferencia) es debido a que no se tomaron todos los decimales al momento de conseguir ciertos valores como el radio.**