la region limitada por la grafica de y=x^3 , el eje x y x =1\2 se gira alrededor del eje x. hallar el area de la superficie lateral del solido resultante
Respuestas
Respuesta dada por:
1
Bueno, la fórmula del área de la superficie de una función al hacer girar está dado,
![S=\displaystyle2\pi\int_{a}^{b}{r(x)\sqrt{1+f'(x)^{2}}}dx S=\displaystyle2\pi\int_{a}^{b}{r(x)\sqrt{1+f'(x)^{2}}}dx](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%5Cdisplaystyle2%5Cpi%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%7Br%28x%29%5Csqrt%7B1%2Bf%27%28x%29%5E%7B2%7D%7D%7Ddx)
donde r(x) es la altura de la función...entonces,
![S=\displaystyle2\pi\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{3}\sqrt{1+(3x^{2})^{2}}}dx=2\pi\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{3}\sqrt{1+9x^{4}}}dx S=\displaystyle2\pi\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{3}\sqrt{1+(3x^{2})^{2}}}dx=2\pi\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{3}\sqrt{1+9x^{4}}}dx](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%5Cdisplaystyle2%5Cpi%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%7Bx%5E%7B3%7D%5Csqrt%7B1%2B%283x%5E%7B2%7D%29%5E%7B2%7D%7D%7Ddx%3D2%5Cpi%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%7Bx%5E%7B3%7D%5Csqrt%7B1%2B9x%5E%7B4%7D%7D%7Ddx)
consideramos una sustitucion,
![u=1+9x^{4}\longrightarrow du=36x^{3}dx\rightarrow dx=\displaystyle\frac{du}{36x^{3}} u=1+9x^{4}\longrightarrow du=36x^{3}dx\rightarrow dx=\displaystyle\frac{du}{36x^{3}}](https://tex.z-dn.net/?f=u%3D1%2B9x%5E%7B4%7D%5Clongrightarrow+du%3D36x%5E%7B3%7Ddx%5Crightarrow+dx%3D%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bdu%7D%7B36x%5E%7B3%7D%7D)
entonces la ntegral nos queda,
![S=\displaystyle2\pi\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{3}\sqrt{u}}\frac{du}{36x^{3}}=\frac{\pi}{18}\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\sqrt{u}}du=\frac{\pi}{18}\left(\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}\right|_{0}^{\frac{1}{2}}\\\\\\...=\frac{\pi}{18}\left(\frac{2(1+9x^{4})^{\frac{3}{2}}}{3}\right|_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{18}\left[\frac{2(1+9(0.5)^{4})^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2(1+9(0^{4})^{\frac{3}{2}}}{3}\right]\\\\\...= S=\displaystyle2\pi\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{3}\sqrt{u}}\frac{du}{36x^{3}}=\frac{\pi}{18}\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\sqrt{u}}du=\frac{\pi}{18}\left(\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}\right|_{0}^{\frac{1}{2}}\\\\\\...=\frac{\pi}{18}\left(\frac{2(1+9x^{4})^{\frac{3}{2}}}{3}\right|_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{18}\left[\frac{2(1+9(0.5)^{4})^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2(1+9(0^{4})^{\frac{3}{2}}}{3}\right]\\\\\...=](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%5Cdisplaystyle2%5Cpi%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%7Bx%5E%7B3%7D%5Csqrt%7Bu%7D%7D%5Cfrac%7Bdu%7D%7B36x%5E%7B3%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B18%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bu%7D%7Ddu%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B18%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B2u%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7B3%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C...%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B18%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B2%281%2B9x%5E%7B4%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7B3%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B18%7D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B2%281%2B9%280.5%29%5E%7B4%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2%281%2B9%280%5E%7B4%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7B3%7D%5Cright%5D%5C%5C%5C%5C%5C...%3D)
bueno, no tengo nua calcu a la mano....entonces...mete eso a una calculadora y ya te da el resultado¡..
donde r(x) es la altura de la función...entonces,
consideramos una sustitucion,
entonces la ntegral nos queda,
bueno, no tengo nua calcu a la mano....entonces...mete eso a una calculadora y ya te da el resultado¡..
Glennys11:
pero como lo resuelvo en la calculadora? osea como hago
Preguntas similares
hace 6 años
hace 6 años
hace 9 años
hace 9 años
hace 9 años
hace 9 años