Question

Un vehículo presenta los siguientes recorridos: Se desplaza inicialmente 4 km al Este (��1 = 4 km) y después 7 km hacia el Norte (��2 = 7 km). Realiza su representación gráficamente y determina la distancia resultante o total (����), también conocida como hipotenusa, empleando el Teorema de Pitágoras, así como el ángulo de inclinación (θ)

Answer 1

La distancia resultante es de 8.06 kilómetros

El ángulo de inclinación es de 60.26°

Solución

Los puntos cardinales son referencias geográficas que se utilizan para ubicarnos en la Tierra. Estas referencias se definen en base al eje de rotación: el sur y norte apuntan hacia los polos geográficos, mientras que el este y oeste en direcciones perpendiculares a este eje.

Siendo en el plano cartesiano el eje X también llamado eje de la las abscisas representa la dirección este –oeste, y el eje Y llamado el eje de las ordenadas representa la dirección norte – sur

Donde tomamos donde el vehículo empezó a desplazarse como centro de origen (0,0) en la intersección de los ejes de X e Y

Luego al estar dividido el plano cartesiano en cuatro cuadrantes, se toma  el semieje positivo del eje X como la dirección Este y el semieje positivo del eje Y como la dirección Norte

El vehículo parte avanzando hacia el Este 4 kilómetros, luego se dirige en dirección Norte recorriendo 7 kilómetros donde termina su trayectoria de distancia

a) Hallamos la distancia resultante

La distancia resultante está dada por la distancia recorrida desde el punto inicial hasta el punto final de la trayectoria.

Donde el punto inicial es donde el vehículo comenzó a desplazarse y el punto final es donde el vehículo se dirigió y terminó su recorrido

Luego determinamos la distancia en línea recta entre ambos puntos

La distancia en línea recta entre ambos puntos va a estar determinada por el valor de la hipotenusa que se obtiene del triángulo rectángulo, donde un cateto es el trayecto recorrido por el vehículo en dirección Este y el otro cateto es el tramo recorrido por el vehículo en dirección Norte.

Hallando la hipotenusa del triángulo rectángulo habremos encontrado la distancia en línea recta desde el inicio hasta el final de la trayectoria, siendo esta distancia una resultante entre los dos trayectos realizados al Este y al Norte respectivamente

A esta distancia en línea recta desde el punto de partida hasta al punto en donde culminó su recorrido el vehículo se la conoce como distancia resultante o total

Por lo tanto aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar la distancia resultante también llamado desplazamiento

$\large\boxed{ \bold {||\overrightarrow{D_{R} }|| =\sqrt{ (||\overrightarrow{D}_{1}|| )^{2} + (||\overrightarrow{D}_{2}|| )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{(4 \ km )^{2} +(7 \ km^{2} ) } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{16 \ km ^{2} +49 \ km^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{65 \ km ^{2} } } }$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = 8.06 \ km } }$

La distancia resultante es de 8.06 kilómetros

b) Hallamos el ángulo de inclinación

Para hallar el ángulo buscado recurrimos a las razones trigonométricas habituales

Donde tomamos la razón trigonométrica tangente,

Si la tangente de un ángulo θ se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

$\boxed{\bold { tan (\theta)= \frac{cateto \ opuesto }{cateto \ adyacente }}}$

Donde consideramos como cateto opuesto a la distancia recorrida por el vehículo en dirección Norte cuyo valor es de 7 kilómetros. Y donde el cateto adyacente es la magnitud del trayecto efectuado de 4 kilómetros hacia el Este

$\boxed{\bold { tan (\theta) = \frac{7 \not km }{4 \not km}}}$

$\boxed{\bold { tan (\theta)= \frac{7 }{4 }}}$

Aplicamos la inversa de la tangente para halar el ángulo

$\boxed{\bold { \theta = arctan \left( \frac{7 }{4 }\right) }}$

$\boxed{\bold { \theta \approx 60,25511^o }}$

$\large\boxed{\bold { \theta\approx 60.26^o }}$

Se encuentra en el adjunto la resolución gráfica solicitada